CAS GENERAL DU PROHLKME DES TROIS CORPS. 27I
Il en est de même pour la même raison des
et aussi de F (et par conséquent de H). Reprenons l'identité (6) et faisons-y
' = "'/ = f>, et, par conséquent,
(h = (hv, = o.
Les À/, les ç^ et les r,^- se réduiront respectivement à a|*, ;" et r^" , puisque ces constantes sont, par définition, les valeurs initiales des À, ç et Tj pour t = »r = o. On aura donc
puisque les )." sont considérés comme des constantes données une
fois pour toutes et
d-rii= dri^.
On aura d'ailleurs (puisque t est nul)
\^l — KJj ,
et, si Qo représente la valeur de ù pour -: = fP = o, notre formule (T)) deviendra
Si nous faisons simplement t = o, en conservant aux iv des valeurs quelconques. G/ est encore égal à Cf et la formule (()) devient
( ^Ldl-i-y^Ufq-dil
Il importe de remarquer que les quantités G", X/, Y/ ne dépendant pas des w ont mêmes valeurs dans la formide (8) et dans la formule (9). Si donc je retranche ces deux formules l'une de l'autre, je trouve, en faisant passer certains termes d'un meml)ro
dans l'antre,
jgi^ ^ofij ^amà JLSisi
Cette formule suppose que l'on a fait
Prenons donc nos développements (2) cl (3) et faisons-y
ils définissent les L, À, ç, T) en fonctions des w et des constantes
Les À|' sont en cllel regardées comme des constantes données une fois pour toutes.
D'ailleurs les W sont des fonctions des L", ^1, r," ; donc, inversement, les L" sont des fonctions des W, ç", r,", de sorte que finalement les inconnues
sont fonctions des
cl tjue ces fonctions sont données par les développements (2), (3) (où l'on a fait t = o).
Ces développements (2), (3) (avec t = o) définissent donc un changement de variables et la formule (10) nous apprend que ce changement de variables est canonique.
Les équations (1) conserveront donc la forme canonique et deviendront
(II
df
dY
dwi
dt ~
dV dr:\
dw i
dV ~ dWi '
dt ~
dV
cm
Nous voyons tout de suite que F dépend seulement des L)', ;)', •Al*', c'est-à-dire des W/, ç", y,". Donc la dérivée de F par ra])port à <v'/ est nulle et W^- est une constante.
On démontrerait, comme au n" 130, que les lemmes du n" 107 sont ai)i)licables.
173. Il faut voir maintenant quelle est la forme de la fonction F. Les développements (2), (3) nous apprennent que
'-'Il 'ut Ço l\l
sont développables suivant les puissances de 7, a, ;", tj", les coefficients du développement dépendant d'ailleurs des L" et des iv. fl en est évidemment de mémo de leurs dérivées et,, par conséquent, de
AL,-, AX,-, A£,-, At.,-.
Il en est de même de F (considérée comme fonction des L", ç", r,", u.). Il en est donc de même de
c'est-à-dire de AQ; il en est donc de même de Q. et par conséquent aussi de
JmU dwi ^^ ■ dwi dwi
On voit donc que W/, qui ne dépend pas de t ni des w^ sera développable suivant les puissances des ç", ri" et de tj., les coefficients du développement dépendant d'ailleurs des L".
Si nous faisons [ji. = o, on a
dwi
<r/À/, dwi
•si tt ^
dr^ dii'i
= Fo,
dF
dF
dU = ''"
d'où
