AO

du

diX'i

(>;«,L«-Fc 0,

= const.,

d'où enfin

Ainsi le premier terme du développement de Wi suivant les puis- P- - I- 18

sauces de ja se réduit à L". Soit, pour [j. quelconque

oWi sera développable suivant les puissances de [x, des ^l et r^; les coefficients du développement seront des fonctions des L](, holomoj^phes dans le domaine envisagé.

Si donc j'ai

d'où

la fonction / sera développable non seulement suivant les puissances des [X, ç", Til^ mais suivant celles des différences L^ — Wa, les coefficients du développement dépendant seulement des W. Alors notre équation peut s'écrire

cL le premier membre est développable suivant les puissances des

,, io .,11 10 W/

Quand on y fait

le premier membre se réduit à L" — W/ et sa dérivée partielle par rapport à cette différence sera i .

Donc, en vertu du tliéorème de Cauchy sur les fonctions implicites ou, comme aurait dit Laplace, du théorème sur le retour des suites, de l'équation (12), on pourra tirer

et, par conséquent, L^^ en série procédant suivant les puissances des UL, ^°, t\% les coefficients du développement dépendant d'ailleurs des W,-.

Si dans F, nous substituons ces séries à la place des LJ, nous verrons que F est développable suivant les puissances de [a, des ç- et des ti" , les coefficients de développement dépendant seulement des W.

Telle est la forme de la fonction F.

CAS GÉNÉUAL DL' l'HOBLÈME DKS TROIS CORPS. '27S

174. Revenons aux équations (ii). Ka|)|ielons-nous que, en vertu de ces équations, les W/t sont des constantes, que F ne dépend pas des w, et envisageons spécialement les équations

f^^ __ dV dr^ dF

^^^ dt dr^f dl ~ ^ï?

Comparons-les aux équations (i) du Clia|)itre IX :

(^h __ dK dr^i dK

dt ~ '''d^i' lu ~'''d^i'

L'analogie est évidente; F joue le rôle de [jlR, H" celui de q<> tf- celui de r\i. De plus, F ne dépend pas d'autre variable que des ^" et des r|", puisqu'il ne dépend pas des w et que les W sont des constantes. Enfin F est développable suivant les puissances des y et des VI».

11 y a toutefois une différence. Tandis que uR ne contenait que des termes de degré pair jjar rapport aux ^/ et aux -^/, le développement de F contient à la fois des termes de degré pair et des termes de degré impair.

Quelle est la conséquence de cette différence? Au Chapitre IX nous avons supposé que le développement de S commençait par des termes du second degré, ce qui revenait à dire que [xR ne contenait pas de termes du premier degré. Mais l'hypothèse que IJI.R. ne contient pas de terme de degré 3, 5, ij, ... n'a joué aucun rôle dans nos démonstrations depuis les n"^^ 15o, 456, 157, 158. C'est seulement au n" 159 que nous l'avons introduite. C'est d'ailleurs ce que nous avons expliqué au n" 170.

Les résultats des n""* 155, 156, 157, 158 seraient donc applicables à des équations de la forme (i3), où F ne contiendrait pas de terme de degré un par rapport aux inconnues, mais pourrait contenir des termes de degré 3, 5, 7, .... Avec de pareilles équations, les inconnues seraient développables suivant les puissances d'expressions de la forme

(14 ) E/,- ces tv'y,., E/.. sin (v'^.,

où les E>t seraient des constantes d'intégration et les w\ des variables auxiliaires; pour satisfaire aux équations du mouvement, il faudrait faire

OÙ les y' sont des constantes dépendant des E et les m'^ de nouvelles constantes d'intégration.

En revanche, les résultats du n° Jo9 ne seraient pas applicables, de sorte que les développements contiendraient non seulement des termes de degré impair par rapport aux expressions (14)7 mais aussi des termes de degi'é pair. Ils ne contiendraient pas cependant de termes de degré zéro. On voit en effet que les équations différentielles sont satisfaites quand toutes les inconnues sont nulles. Les inconnues s'annulent donc toutes à la fois quand les constantes E/;- s'annulent toutes à la fois.

Le cas où F contient des termes de degré un peut-il être ramené à celui où F ne contient pas de termes de degré un? Rien n'est plus facile : il suffit de poser

Ç/ — Ç/ ^ ^'5 'îi — 1/ ^ Pm

OÙ i'" et t]'/^ sont les inconnues nouvelles, ai et |3/ des constantes. Nous déterminerons ces constantes, de telle façon que

quand on v fait

\lors, en effet, les dérivées de F s'annulant avec les ^'■'^ et les r{-\ le développement de F ne contiendra pas de terme de degré un par rapport aux ç'^" et aux ri'/^.

Ce changement de variables ayant ramené nos équations à la forme que nous avons traitée, nos nouvelles inconnues i^" et r,'^" sont développables suivant les puissances des expressions (i4)5 d en sera donc de même des anciennes inconnues q^ et rj" qui n'en diffèrent que par des constantes. La seule différence, c'est que les développements des ^1 et des r," contiendront des termes de degré zéro, tandis que ceux des ^1° et des •^'^'' n'en contiennent pas.

175. Il importe, avant d'aller plus loin, de faire voir que les constantes a, et [3^ sont très petites de l'ordre de a.

Pour cela, je commence par observer que la valeur moyenne de

est divisible par ^-. Je rappelle ce que j'entends par valeur

CAS GÉNKRVL I)L l'UOBLÈME DES TROIS CORPS. ^-77

moyenne d'un développemenl procédant sui\ aiil les puissances de et suivant les sinus et les cosinus des multiples des w. C'est l'ensemble des termes de ce développement qui sont indépendants à la fois de T et des w.

D'après cette définition, si U est un pareil développement, la valeur moyenne du développement

dwi

sera nulle, puisque les termes indépendants des «^ disparaissent par la différentiation.

Je remarque ensuite que

dkic d oÀa dwi ~~ dwi

dli doli

dwi dwi

Mk\

divi dwi Il vient donc

y dot]/,- d\l .mJ ' dwi dwi

Or L^, "il sont des constantes, de sorte que les valeurs moyennes de

0 d oX/, ,0 dor,u- d,l ^"~d^' ''" dn-i' dwi

sont nulles et que Ton a

val. moy.( W,— L,) = val. moy. (^2j "^ ^7 -"2^ °' "^I^A

Comme 3L, 5a, o;, oyi sont divisibles par [x, nous voyons que la valeur moyenne de Wj— L,- est divisible par \x-.

Cela posé, cherchons à exprimer F en fonction des A\ , des ;» et des Y,o et cela en négligeant ij.^. Nous avons

F = Fo^;jtFi.

Le premier terme Fq dépend seulement des L^ et, comme W/ — L/ €st de l'ordre de [j., nous pouvons écrire

Fo(L,-) = Fo(W,-) + 2^(L/-W,-), en négligeant a-; d'ailleurs comme

dL, -"'

est de l'ordre de ^, nous pouvons, toujours en négligeant [x-, écrire

Fo ( U ) = Fo ( W/ ) + 2 " '• ( ï^' - W.- )

Dans le dernier terme y-F,, nous pouvons remplacer les inconnues

par leurs valeurs approchées

L'erreur commise sera de l'ordre de ui-.

Comme F est une constante, il est égal à sa valeur moyenne.

Or Fo(W/) est une constante; la valeur moyenne de L/ — W/ est nulle en négligeant ij.^ ; celle de F, se réduit à R, partie séculaire de la fonction perturbatrice.

Donc

(i5) F = val. moy. F = Fo(W/)-+- [jlR.

Dans K, il faut remplacer L/, ^,-, ■/],■ par W/, ;)', r|J' ; je ne parle pas de "ki qui ne figure pas dans R.

Or nous savons que le développement de R suivant les jouissances des ^ et des r^ ne contient que des termes de degré pair; si donc on négligeait |j.-, il n'y aurait que des termes de degré pair dans le développement de F suivant les puissances des ^" et des v)". Ou bien encore, si l'on exprime F en fonction des W,, ç", t]" et SI 1 on développe suivant les puissances des ç" et desT]", les termes

CAS GÉNÉRAL DU PUOBI.ÉMK DES TROIS CORl'S. •>.79

de degré un et, en général, les termes de degré impair seront divisibles par [JL-.

Quelles seront alors les valeurs des constantes a/ et j3/? Ce seront les valeurs qui, substituées à la place des ç^ et des y)", satisfont aux

équations

cW dF

Les premiers membres de ces équations sont divisibles par jx; en efTet, pour ij. = o, F se réduit à Fo(W/), c'est-à-dire à une constante indépendante des ^" et des r,^". Si donc nous posons

F = Fa(W,-)-H;xF',

nous pourrons écrire nos équations sous la forme

dF' dF'

nous aurons ainsi fait disparaître le facteur [x.

Les premiers membres de ces équations sont développables suivant les puissances des ç", r\'^ et de tx. Pour [j. = o, F' se réduit à li, et ne contient plus que des termes de degré pair par rapport aux q^ et aux r\^^ ; ses dérivées premières s'annulent donc avec les q" et lesr,°.

Nos équations sont donc satisfaites pour

Nous tirerons donc de nos équations les ç" et les r,^- en séries procédant suivant les puissances de tx, et ces séries s'annuleront avec ^a. Comme les valeurs des ç" et -rif ainsi obtenues ne sont autre chose que les constantes a^ et ,3/, nous devons conclure que les a/ et les jB/ sont des séries procédant suivant les puissances de pi. et contenant y. en facteur, que ces constantes sont par conséquent de V ordre de y..

Si alors, dans notre fonction F qui est développable suivant les puissances de

nous faisons

il est clair qu'après cette substitution, F sera développal)le suivant

•28o CHAPITRE X.

les puissances de