Remarquons, de plus, que nous aurons les identités

dy.j d'Xfi dxu '

qui sont des conséquences immédiates de la définition des crochets de Lagrange.

Pour démontrer la première de ces identités, nous n'avons qu'à écrire

^ d -^ dy d '^ dy

f^^'"^^ = è.2^i7-^Il-^

d-X)^ jL^ " d'j.j dy. i ^d ' c/a/,-

d ■^ dv d ^ dy

^''J^'"A= d^jZà^'d^n ~d^n2d''^j'

Si nous différentions la première de ces relations par rapport à a/, la deuxième par rajjport à a^, la troisième par l'apport à cl^ et que nous ajoutions, nous constaterons immédiatement que les différents termes du second membre se détruisent deux à deux. Le premier membre doit être égal à zéro, ce qui démontre la première identité (aS).