Reprenons maintenant la dernière équation (i i
dwj dF
~dt ~ Imt
Le second membre dépend seulement des
Wf 0 Y 0
Ces quantités viennent d'être déterminées et l'on a trouvé que les Wi sont des constantes et que les ^" et les yj" sont développables suivant les puissances des expressions
( ' -î ) . K/, cos H'/., E/,. sin w'^,,
OÙ les Ea sont des constantes d'intégration et où les iv'/^ doivent être remplacés par
Le second membre est donc connu, de sorte que nous obtiendrons iVi par une simple quadrature.
Le second membre est développable suivant les cosinus et les sinus des multiples des (f^.. Soit n'^ sa valeur moyenne et posons
avec
^ -„' dgi d¥__ ,
dt ~ " dt ~ dWi '■
Comme -j^r- est développable suivant les puissances des expressions (i4) et de [J., les coefficients du développement dépendant d'ailleurs des constantes W;t, sa valeur moyenne n'^ sera une constante développable suivant les puissances de |j. et des E| [je dis des E| parce que n'- ne doit pas dépendre des <r^ (c/. n° 160)].
Quant à la différence
dF
elle pourra être mise sous la forme
CAS GÉNÉRAL DU PROBLÈME DES TROIS CORPS. ?.8l
OÙ A et h sont des constantes dépendant seulement des W, des E et de a, et où les A"', sont des entiers. Il Aient alors
W"i = n'i t -t- TTSi,
les mi étant de nouvelles constantes d'intégration, et
A sin ( ^ k'j iv'j -f- h
Rappelons que les y', sont divisibles par a; on pourrait donc craindre que les expressions des gi ne contiennent ij. au dénominateur, si les coefficients A n'étaient pas eux-mêmes divisibles par p..
Heureusement, c'est ce qui arrive; si nous faisons |j.^o, nous aurons, en vertu de la formule (i5),
Comme -^- est une constante, elle estéeale à sa valeur moyenne,
de sorte qu'on a
et
dt
Si -^ s'annule pour a = o, c'est qu'il est divisible par ik. Donc
touslescoefficients A sont divisibles par ui.. Dans l'expression de ^/, le facteur ijl disparaît haut et bas, de sorte que cette expression est développable suivant les puissances de [x.
177. Reprenons maintenant les développements (2), (3); nous satisferons aux équations (i) si nous j remplaçons :
1° - par zéfo;
2" Les S" et les r^ par leurs développements suivant les puissances des expressions
(i4) -E/. gjj^ »'a- "•/!■ = - T// -^ ^A'
développements qui résultent de rintégration des équations (i3) et qui dépendent d'ailleurs des constantes W,-;
3" Les L" par leurs valeurs en fonctions des W/, i", r|" ; ces valeurs étant développables suivant les puissances des i" et y)^^ seront également développables suivant celles des expressions (i4);
4" Les Wi par
Le terme général du développement (3) s'écrit
V [Ji* A 011 0 1'" cos ( V Ai n'/ H- /H .
Je puis supposer ju = o, puisque je fais dans ce développement o, et que, par conséquent, les termes qui contiennent un facteur t disparaissent; si je fais de plus iVi= «''']+ gi, notre développement deviendra
V a* A 011 0 COS I V /./ ,^/ + /t j cos ^ V Ai II-';
Le monôme .'lllo i'Cra développable suivant les puissances des expressions (i4); il en sera de même de A, cos h, sin/i qui dépendent des L^^ ; il en sera de même des gi ainsi qu'il résulte de
la formule (16); il en sera donc de même de cos(^^kigA,
sin(^kii^A, cos( ^ /ci g i+ /i\ ^\nf^kisfi+ /A. Ainsi les
coefficients de notre formule (17) sont développables suivant les puissances des expressions (i4)-
En raisonnant comme au n" 69, on verrait que les développements (3) prennent la forme
( , 8 ) V :,a BEf Ef . . . E7^î ^^ (^ ^- "''^ + 2 ^^ "'') '
les entiers (/et/) satisfaisant aux conditions
qi = Pi (niotl'2), qiV[Pi\-
Les coefficients B flépendent d'ailleurs des constantes W/.
Pour satisfaire aux équations (1), il faut dans les développe-
CAS gkm':u\i, I)L' l'itoiti.KMi: i)i:s thois coiu-s. iSi
menls (i(S) fiiirc
w'/ = — y'/ ^ -^ ^'/» "'"i = nit -h TO/.
S'il y a /i + I corps, soit // planrles, cette soliiiion renferni<'i;i 6n constantes arbitraires, à savoir : les n constantes W/, les i/i constantes E/, les n constantes ra/, les 9. Ai constantes raj. Je ne parle |)as (les À" ([lie nous regardons comme données une fois pour toutes.
Le système (i) est d'ailleurs d'ordre ()/?.
178. Revenons aux équations (i3) et examinons-les de plus près. Nous les avons rap|)rocliées des équations (i) du Chapitre IX et nous avons vu au u" 17 i (pielles sont les différences; on peut ramener un cas du début du Cluipitre IX en combinant l'artifice du n" 170 avec celui du n" i7i. Mais il est plus simple d'employer le procédé du n" 171, c'est ce que je vais explicjuer.
En nous reportant à la formule (i5), nous voyons que Ion a
où R' n'est autre chose que R où l'on a substitué W/, q^ et 'r^'■ à la place de L/, qi et r|,-, tandis que R" est développable suivant les puissances de jjl, ç", tj", et dépend en outre des constantes W,-. Les équations (i3) deviennent alors
djl __ dR^ , dR" dt - ^drn^ ^'dr,f
dn'^ dW „ dK"
(i3 (fis) <
dt ' ^^? ' d^J
Nous reconnaissons là les équaliuus du ii" 171, car R' est lornuavec les ^" et Y)" comme R avec les ^i et ?)/.
Si toutes les planètes se mouvaient dans un même plan, de façon qu'on n'eut pas à tenir compte des inclinaisons, aucun de nos y ne serait nul. de sorte qu'il n'y aurait aucune difficulté.
Dans le cas où l'on doit tenir compte des inclinaisons et où l'un des V est nul, on tourne la difficulté par l'un des deux artifices exjiosés à la lin du Chapitre IX, par exemple par celui du n" IGi). On se rappelle qu'il consiste à rapporter le système non à des axes fixes, mais à des axes mobiles tournant uniformément autour de l'axe des X3.
Soient alors L', V, p', to' les éléments canoniques osculateurs rapportées aux axes fixes; L, X, p, lo les mêmes éléments rapportés aux axes mobiles ; on aura
L = L', P = ?') X = À'-f-au/, (.0 = w'— aji.;,
a étant une constante dépendant de la vitesse de rotation attribuée aux axes mobiles.
On aura les équations canoniques
d'où il est aisé de déduire les suivantes
dL d(F -h a[j. H ) dp d(F -h oiixU)
dL' dt ~
dF
rfX''
dp' dF dt ~ dto'
dX' dt ~
dF dL''
dto' dF dt ~ dp'
ou
dt d}. dt dLù
dX f/(F + a;jLH) . cjm d{F + (X)j.\\)
dt dL dt dp
est le premier membre de l'une des équations des aires. J'ajoute que quand j'aurai remplacé L', p', a', w' par
1j, p, A — au/, w -h aa/,
les fonctions F et F + auH dépendront seulement de L, p, X, w et pas du temps ^; cela tient à la symétrie particulière de la fonction F (c/. n" 169).
Si nous revenons aux variables \ et T|, les équations (20) conserveront leur forme canonique et deviendront
Nous opérerons sur les équations (21) comme nous avons opéré sur les équations (i). Remplaçons donc dans F et dans H les variables en fonctions des W,, ç", v)", Wi\ comme H est une constante, en vertu des intégrales des aires, H ne dépendra pas des (ï'/, et je
dL
dt ~
dX
dt
d(F 4-a[JiH)
- dn '
dk dt ~
5(F-f-a|JiH) dL
dr, dt
d(F + o^lxH) dl
CAS GÉNKRAL DU PROBI.KME DKS TROIS COUPS. iSS
pourrai écrire
Il = H'-i- ,ul11", où
ii' = ^'^'^''-~^[(i^yMr,U'-]^
el où H" est développable suivant les puissances des [jl, ;", r^" et dépend en outre des constantes W,-. Les équations (i3) deviennent alors
(i3 ter) <
i dq'^ d{n'~-oiH') r/(R"+aH") r — -— = u. — ^^ -r- a-
Ces équations sont de la forme de celles du n" 171, et les procédés du Chapitre IX peuvent leur être appliqués sans aucune difficulté.
179. Calcul des moyens mouvements. — Je dis que les coefficients n' et y' (qui jouent un rôle analogue à celui des moyens mouvements) sont développal)les suivant .les puissances du paramètre a et des constantes E^.. C'est ce qui résulte de tout ce qui précède et nous pourrions le démontrer de bien des manières, mais il semble que le mieux soit de raisonner comme il suit.
Les équations ( i) doi\ent être satisfaites quand on fait
d'où
dt ^ 2à"''d^}~2à'^'di^'
Servons-nous de cette dernière formule pour transformer les équations (i). Nous obtiendrons ainsi les deux systèmes d'équations
, c/>,, -^ , d'A, dP
2^"'d^,~2^^''-7^,'' dL, Zà'''^^,^ 2à'^'d^,~ dU
\ -^ dwi, et
, di.i ^ , (D., dF
2à 'dn'i Zd^i^d^v'.- d\i
Ce sont deux systèmes d'équations linéaires d'où l'on peut tirer les constantes /?' et y'. En elïet l'indice i peut prendre n valeurs (s'il J a /i planètes) pour les À/, et2/i pour les ^/ et les yj/; l'indice A' peut prendre n valeurs pour les n' et les ii"" et m pour les v' et les w' . Chacun de nos systèmes comprend donc 3^?. équations et 3/î inconnues.
Les seconds membres des équations (22) et (^3), c'est-à-dire les dérivées partielles de F, ainsi que les coefficients, c'est-à-dire les dérivées partielles des 1, \ et y], sont dé\eloppables suivant les puissances de
(24) X^i E/.cos(i'^,, E/,. sinir^..
Les déterminants formés à l'aide de ces équations linéaires seront donc développables de la même manière.
Chacune de nos inconnues se présentera donc sous la forme
où P, Q, X, Y sont des. séries procédant suiNant les puissances des quantités (24). La première expression ^ sera déduite des équations (22) et la seconde expression ^ sera déduite des équations (23). En conséquence X et Y sont les déterminants des équations (22) et des équations (23).
Soient Xq et Yq l'ensemble des termes de degré le moins élevé des deux développements X et \ ; je dis que, si les deux polynômes Xo et Yq sont premiers entre eux, le dé\ eloppement P sera divisible par X, et Q par Y de sorte que chacune de nos inconnues sera développable suivant les puissances des quantités (24)-
C'est là un théorème général, d'ailleurs bien connu et que je vais établir en quelques mots. On aura
PY = QX,
de sorte que PY est divisible par X; je dis que P est divisible par X. Si en effet P n'était pas divisible par X, on pourra écrire
(25) P = RX + S,
-où K et S sont des développements de même forme que P, Q, X, Y,
CAS GÉNÉRAL Dl l'IWMll.ÉMK DliS TROIS CORI'S. 9.87
et OÙ reiisemljle S^ tics ternies de degré le moins élevé du dé\eloppement S n'esl pas dixisible par Xq.
Si en etl'et So était di\isible par Xq, on aurait
So=MXo,
M étant un polynôme homogène, puisque So et Xo sont des JJol>nomes homogènes. On pourrait alors poser
P =(R-i-M)X + (S — AIX),
formule analogue à la formule (20) mais où R est remplacé j)iir R H- M et S par S — MX. Si nous comparons les termes de degré le moins élevé de S — MX à ceux de S, nous voyons que le degré des premiers est plus grand que celui des seconds, car Sq — MX,, ^o. On pourra donc augmenter sans cesse le degré des termes le moins élevé de S, à moins que l'on n'arrive à un moment où So ne sera plus divisible par Xq. Supposons donc que Sq ne soit pas divisible par Xq. On aura alors
RXY + SY = QX,
ce qui veut dire que S\ est di\isible par X; il faut donc que Sq^ 0 soit divisible par Xo ; or cela impossible parce que \o e*t premier avec Xo et que So n'est pas divisible par Xo (pour des polynômes, le théorème a été démontré par Kronecker). Donc P est divisible par X. c. Q. F. n.
Nous sommes donc conduits à rechercher si Xo est premier avec \ 0 et pour cela, il suffit de démontrer que cela a lieu pour |ji. = o. Si nous faisons u. = o, il reste
A, A^. -r- IV,, ^i — ç- ,
Or les H" et les vj" ne dépendent que des w' et pas des (v", de sorte que, dans les premiers membres des équations (22) et (23), les
-,—„ et -j-V disparaissent.
a^v dw *■
Il en résulte que X est le produit de deux déterminants :
i" Celui des — -^ qui est égal à i, puisque pour u. = o, )., — sv] dii'i^
est indépendant des i\-";
CllAl'ITUE X.
2" Celui des — —-' Nous devons nous borner à en chercher les
termes de degré le moins élevé. Remarquons que, pour a = o, les ^" peuvent être calculées simplement à l'aide des équations (i ) du Chapitre IX [c'est-à-dire des équations (i3 bis) ou (i3 /er), en supprimant dans les seconds membres les termes en |j.-]. Les H" sont alors développables suivant les puissances des quantités (i4)- Pour avoir les termes du degré le moins élevé de notre déterminant, il suffit de prendre dans les çj les termes du premier degré; lesquels peuvent se calculer par les procédés du Gha|)itre VIII. Il faut donc d'abord faire subir aux ^" le changement de variables du n° loi, qui est linéaire et canonique; si alors nous appelons ^';f les nouvelles variables on aura (en nous bornant aux tei'ines du premier degré)
dw;,
Ce que nous cherchons c'est le déterminant fonctionnel des q^ par rapport aux iv' ; or il est égal au produit du déterminant fonctionnel des ç" par rapport aux ^'/ qui est égal à i (puisque le changement de variables du n" loi n'est qu'un changement de coordonnées rectangulaires) par le déterminant fonctionnel des ^'^ par rapport aux w' qui est égal à
f] j Tj 2 • . . r .,,1.
On a donc
()n trouverait de même
Yo = r.n;» . • • r."» = IX ( ea- cos O,
ce qui montre que Xq et Yq sont premiers entre eux.
(Quelques mots pour repousser une objection possible. On pourrait dire que Xq et Yq sont premiers entre eux pour 'Ji = o, mais qu'il n'est pas certain qu'il en soit de même pour [Ji-<o. Il peut se faire en effet que les termes de degré le moins élevé de X et Y, qui sont de degré 2n par rapport aux quantités (24) quand on fait fji.::=o, soient de degré moindre pour [Ji<o, parce que les termes du degré le moins élevé qui ne seraient d'ailleurs pas premiers entre eux disparaîtraient pour pi = o.
CAS GÉMiRAL DU l'UOISKlî.MK DES TROIS COUPS. 'iS'J
Pour se iiuLUo à l'abri de ccLle ohjcclion, il sui'fÎL de convenir que l'on évaluera le degré de cliaque ternie en allrihuant à E/fCosa'^., EA-sintr),. le degré i et à jji le degré rj, q étant un entier plus grand que in. On sera certain alors que tous les termes qui contiennent a en facteur sont au moins de degré in.
Il résulte de tout cela que nos moyens mouvements «' et v' sont développables suivant les puissances des quantités (24) et, puisque ce sont des constantes indépendantes des \y\ qu'il sont développables suivant les puissances de jjl et des E^..
Cliercbons les valeurs des i\! et des */■' pour
our \x — 0, on a
dV dV
dh divl
dw\ ~''
dwi.
de sorte que les équations (22) nous donnent d'abord
et ensuite
