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ago CHAPlTRIi X.
par leurs valeurs approchées
qui sont exactes à des quantités près de l'ordre de u..
Les deux membres sont alors développables suivant les sinus et les cosinus des multiples des (v'' et des w'. Egalons dans les deux memljres les termes qui ne dépendent pas des iv", mais seulement des iv'.
Dans les dérivées —tî-» —, — ' les termes qui ne dépendent |)as
des W" sont ceux qui ne dépendent pas des À; ils ne sont donc
autre chose que
^R dR
ou
d\f dr,',
puisque l'on peut remplacer ç/ et r^i par ç)' et r,)'.
D'autre part, dans les premiers membres les termes
dw
ne me donneront pas de termes indépendants des n", puisque les termes de cette nature, qui pourraient exister dans ç,, disparaissent par la dilîerentiation.
Enfin, dans les termes
dW I;
nous pouvons remplacer les \i par c'* ; l'erreur commise sur — -^
^ ^ i. t dw I;
if .
est de l'ordre de u; l'erreur commise sur ri —4- est donc de l'ordre ' ' dwj^
de a-, puisque v^. est de l'ordre de a.
Donc, en négligeant a- et conservant seulement dans les deux membres les termes indépendants des (v", les équations (^a) et (^3) deviennent
^ , rfr,° dK
dn'', ' d^;
CAS GÉNÉRAL DU PROBLÈMK DES TUOIS CORI'S. Jt)!
Si nous négligeons les puissances supérieui'es à E^, nous pouvons réduire R à Pvo et écrire
■•■■ «u/,. cIti^)
^ , dr,^ __ d\\.
Ce sont les équations du Chapitre VIII, de sorte que Ion a
Nous devons donc conclure que pour
Ez- = o les différences y^ — -/,. sont de l'ordre de [x-.
Tout ce que nous avons dit reste d'ailleurs \rai, si Ton esl obligé d'employer l'artifice du n° 169 et de remplacer F et R par F + auiH, et R + a-j-H.
Remarquons que l'un des arguments y!,^ est toujours égal à y.'x (et par conséquent à zéro, quand rapportant le système à des axes fixes on fait a = o). Soient en effet, comme au n'' 169, U et V les deux premiers membres des équations des aires. On trouve alors aisément
car les crochets de Poisson
[F,U] = [F, V] = o, [H, UJ = V, [H. ^ J = -U. On tire de là
U = Gcos(o:îai'-f-a), ¥ = Gsin(a;ji/^/0,
équations qui expriment d'ailleurs que, pour un observateur invariablement lié aux axes mobiles, le vecteur des aires qui est fixe dans l'espace paraîtra décrire un cône de révolution d'un mouvement uniforme; C et h étant des constantes. Comme U et V doivent être développables suivant les sinus et les cosinus des multiples des tv' et des (v", cela prouve que a;j.^ + h est une combinaison linéaire à coefficients entiers des w' et des w" , c'est-à-dire que aa est une
combinaison linéaire à coefficients entiers des «' et des y'
Eu faisant <j.^o, je \ois d'abord que les entiers /./ sont nuls; en faisant ensuite [x très petit, négligeant [x- et faisant E^= o, il reste
Or Vo/i est égal à au. et il n'y a pas d'autre relation linéaire à coefficients entiers entre les r et a\x. Donc tous les entiers A,- sont nuls excepté /•,',,, qui est égal à t; on a donc
niJ. ='- -;:,„. c. Q. 1-. 1).
180. Nombre des arguments. — Dans le cas général du problème des n + I corps (/i planètes), nous avons n arguments iv" et 2/? arguments u-', en tout '.\n; mais comme yl„ est nid lorsque l'on rapporte le système à des axes fixes, l'argument iv'.,,^ se réduit à une constante. Les coordonnées des Ai + i corps dépendent donc de cm — I arguments seulement: leurs distances ne dépendent que de 3// — 2 arguments (tu'de infra, n" 193).
Dans le cas où les 11 + i cor])s se meuvent dans un même plan, on n'a plus que n arguments «r'; mais aucun des y' n'est nul; les coordonnées dépendent donc de 111 arguments.
Dans le cas du problème des trois corps, les coordonnées dépendent de 5 arguments si les inclinaisons ne sont pas nulles et de 4 si elles sont nulles; les distances dépendent de 4 arguments dans le premier cas, de 3 dans le second.
Si l'une des masses est infiniment petite, les autres masses se meuvent conformément aux lois de Kepler; l'un des y' devient nul, c'est celui d'où dépendrait le mouvement du périhélie de la grosse masse ; nous n'avons donc plus que 4 arguments si l'inclinaison n'est pas nulle et 3 si elle est nulle; mais les distances mutuelles des trois corps dépendent encore de 4 arguments dans le premier cas, de 3 dans le second. Les équations ne présentent plus en efl'et la même symétrie et il y a une direction /f:re qui joue un rôle particulier, c'est la direction du périhélie de la grosse planète.
CAS GÉNÉHAL DU PUOItLÉ.ME DES TBOIS COflPS. agS
Passons enfin au cas du problème restreint, et sup|)()sons que l'orbite de la grosse planète soit circulaire. Il n'y a plus alors de direction fixe qui joue un rôle particulier puisque le périhélie de cette orbite est indéterminé. Il en résulte que les distances mutuelles des trois corps dépendent seulement do 3 arguments si l'inclinaison est nulle et de 2 si elle n'est pas nulle {vide infra, n" 193).
