THÉORÈME DE POISSON

181. Comparaison des développements. — En comparant les dévcloppemenls (o) et (i8) du Chapitre précédent, on est conduit H des résultats moins simples et moins nets que dans la comparaison des développements correspondants du Chapitre Vil. Cependant quelques-uns de ces résultats ne sont pas sans intérêt et, parmi eux, je citei-ai surtout le célèbre théorème de Poisson sur l'invariabilité des grands axes.

Pvappelons la forme des développements (3) et (i8) du Chapitre précédent, dé\cloppements auxquels je donnerai dans ce Chapitre les n°' (i) et (2). Le premier s'écrit

(I ) V a'' A DK 0 -'" ^ •" ^ ^ ^^i »'/,

' Mai. Sni ^^

et le second

L'un et l'autre donnent la valeur de l'une des quantités oL, ol, 0^, OYi, le premier quand on j fait

T = ? + C, ir/= Hit -f- £;,

le second quand on y fait

w) = n'i t -!- C7/, Kv'i. = — -['i- ' + ^A-

D'un autre côté, gi, ç", ri,-, L|' sont également développables sous la forme (2), de sorte que

TiiKOBii.Mi: i)i; POISSON. 295

sont développaljlcs à la fois sous la forme (1) et sous la forme (2), tandis ([uc

est développable sous la forme (ij el (jue

X/— »•■; = X;' — sr,-¥- oÀ,-

est développable sous la forme (2 j.

Si Ton veut comparer ces deux développements, il faut d'abord choisir les constantes c, £,, to, to' de façon qu'ils représentent la même solution des équations du mouvement.

Si nous prenons le développement (i) et que nous y fassions

c'est-à-dire si nous attribuons aux constantes c et £/ la valeur zéro; ce développement (i) nous fera connaître la solution particulière des équations du mouvement qui est telle que les inconnues L,-, A,-, ^,-, T,/ aient comme valeurs initiales L", X", q^ , r,|' pour / = o.

Seulement, ici, il faut prévenir une confusion; dans les développements (i), LJ', \", ç)', /,)' i^eprésentent des constantes, à savoir les valeurs initiales de L,, À,, ç,, y^^.

Dans les formules (3) ci-dessous, au contraire, L", ç^, tj" ne sont plus des constantes. Je conviendrai donc de représenter par Lj, ^', rij les valeurs initiales L/, ç,, r^i.

Nous devons donc choisir les constantes W, E, ttî et cj' de telle façon que le développement (2) représente la même solution. Nous avons les équations

Dans ces équations, chacune des expressions oL. oA, oç, oti doit être remplacée par le développement (2) correspondant et il en est de même d'ailleurs de gi, i", t,", L^".

Faisons maintenant ^ = o, c'est-à-dire

iv, = HT , «• .. == ra

29^) ClIAPlTRi: \I.

Soit vce que deviennent par cette siil)stitiition

gl, 'J'^;, '>/-/, 'JÇo '^1/, f-, , Ç, , 'i,.

Comme L/, )./, ç/, '/)/ doivent se réduire à leurs valeurs initiales 'L«", \% l'l\ r^\ les équations (3) deviennent

Telles sont les relations d'où nous dcNons tirer les constantes