W, E, CT/, T

-ei fonctions des valeurs initiales

J'observe d'abord que les seconds membres des équations (4) :sont développables suivant les puissances de

-et suivant les sinus et les cosinus des multiples des to/; ce sont d'ailleurs des fonctions bolomorplies des W. Pour |j. = o, les équations se réduisent à

( t:\ Ti — "\V- fi î-oo -, 1 -i^oo T-t n-n

Dans c"", r,"", ^"j on a fait ;;, = o, et ces quantités, indépendantes des m^, sont développables suivant les puissances de

E/. cosT^'y,., E/,. sin 7TJ/..

'De ces relations (5), on peut tirer les

E/,- cos ct'^,, E/, sin TJTy.

sous la forme de séz^es ordonnées suivant les puissances des ç] et des 7;' et dépendant d'ailleurs des W/ ou, ce qui revient au même, 'des L',

1 iik()iii';mk dic poisson. v.97

De même, .i^)', <]iii csl (h'-Ncluppaljlc siii\anl les [)iilssaiiccs des

E/, cosTTï/., E/.sinTîT^.

deviendra dévcloppable suivant les puissances des ç^' et des y^].

Qu'arrive-t-il maintenant pour [j. quelconque. Remarquons que les deux membres des équations (4) sont développables suivant Jes puissances de u, des ttt/, des

E.v ces TTT/., E/,- sin ni^.,

et enfin des W/ — Lj , si l'on remplace ^^ ,• par L^' + (^^ i — L^' ), car ce sont des fonctions holomorphes des W/ quand ces variables sont suffisamment voisines de leurs valeurs approchées L^' .

Or, que nous apprend le théorème de Cauchy sur le retour des suites (voù' mon Ouvrage Sur les méthodes nouvelles de la Mécanique céleste, t. I, n" 30)?

Supposons que l'on ait n équations dont les seconds membres sont nuls et dont les premiers membres sont développables sui- ^ant les puissances de n fonctions inconnues ^1, z^-. ..., 5« et de j) variables indépendantes ^,, ^o, . . ., Xp et que l'on veuille tirer de ces équations les inconnues z en fonctions des variables x. Le théorème en question nous apprend que les r seront développables suivant les puissances desx, si les équations sont satisfaites quand on fait

et si, pour r- = x ^ o, le déterminant fonctionnel des premiers membres par rapport aux z n'est pas nul.

Cherchons à appliquer ce théorème aux équations (4) et à tirer de ces équations

W/ — L', E/,- cosTiT/., E/. sinrrr^., itt,-,

en fonctions de y., ^j, r^] .

Vérifions d'abord que les équations sont satisfaites pour

[j. = ^1 = r^\ = T>T; = W;— Lj = E,v cosnT),.= V-k sinT;T/.= o.

Pour a = o, les équations (4) se réduisent aux équations (5); il suffit donc de montrer que S^^^ r,"" et g^- s'annulent pour

E,;. COSTÏÎy. = \ik siiiTïyj,. = o.

ag8 CHAPITRE XI.

Nous savons que ^^ et ri" sont donnés parles équations (i3 bis) ou (i3 tef) du Chapitre précédent; comme nous pouvons faire u. = o, nous pouvons négliger les termes en |j.-R" et ces équations se réduisent à

Elles ne sont autre chose, à la difîerence des notations près, que les équations (i) du Chapitre IX. Donc R' ne contient que des termes de degré pair par rapport aux ç)' et Tj", c'est-à-dire que les développements des ^'- et •/]** ne contiendront que des termes de degré impair par rapport aux

E/, cos n'^ , E/, sin n'^..

Ils s'annuleront donc pour

E/.- cos ir^ =: E/.. sin iv'^. = o,

c'est-à-dire que les ^°" et Tj"** s'annuleront pour

E/,- cos w'^^ = E,;. sin w'/^ = o.

Passons à ce qui concerne g^ ; nous avons trouvé, au n" 176, l'équation

^' =. J^ — n' dt d\Ni

Le second membre est développaLle suivant les puissances des

cos ,

sin ''

et sa valeur moyenne est nulle, de sorte qu'il ne contient que des termes dépendant des {v\] tous les termes de ce second membre contiennent donc un des E;^ en facteur.

L'intégration montre que gt est de la même forme et, si nous n'ajoutons pas de constante arbitraire, sa valeur moyenne sera également nulle et tous ses termes contiendront un des E/t en facteur.

Donc 0-; s'annule avec les E/; . iv, et "•," avec les Ea . w',.

TIIKOUKME DK POISSON. 9-90

^ érifions maintenant que pour

p. = il = T,,! = T7T, = W, — \A = E/, cosT7r^.= R/, s'hito/. = o,

le déterminant fonctionnel des équations par rapport aux inconnues

CT/, Wi — T>1, Vf-cosw'j., E/,sinc7/.

n'esl pas nul.

En effet, pour tx = o, les équations (4) se réduisent aux éipiations (5), de sorte que le déterminant fonctionnel cherché se ré-

(hiit à celui des ;!'", -/i"" par rapport aux Ea ^-^^^^'ir

Les z"\ Ti,"" sont développables suivant les puissances des

E/^'^^m'z, et, si nous voulons la valeur de notre déterminant pour

sin '' '

Ea= o, il nous suffira de réduire les développements à leurs termes

du premier degré.

Ces termes du premier degré sont ceux que nous avons déterminés au Chapitre VIII, c'est-à-dire que les i,^", y."" sont liés aux E/, costh';,., Eytsinw'y,. par les mêmes relations linéaires que les ;,. r,/ au-: nouvelles variables ^ • , y]'- dans le changement de variables du n' loi.

Or le changement de variables est une transformation rectangulaire de coordonnées. Donc son déterminant est égal à i/n.

Notre déterminant fonctionnel est donc égal à un.

Nous devons conclure que l'on peut tirer des équations (4)

les constantes

TTT/, ^^'/, E/, cosTïî),, E/.sinTO/.

sous la forme de séries ordonnées suivant les puissances de

dépendant d'ailleurs des L' .

Ce résultat m'a demandé d'assez longs discours, bien (pTil >nil presque évident.

182. Rappelons quels sont les deux développements qu'il s'agit

3oO CIIAlTlRIi XI.

d'identifier. Nous avons d'une pari

(6). h,^^;+8i,, ^.^^i + 5ri,,

Les oLi, oç/, or,/, oa/ doivent être remplacés par leurs développements (i) et, dans ces développements eux-mêmes, il convient de remplacer : i" les arguments a", par nit et t par t', 2" les constantes L^^, 11, 7)" par L^', ^'^ r^l pour nous conformer au changement de notations que nous avons été obligés d'adopter au numéro précédent afin d'éviter une confusion.

Nous avons d'autre part

Les oL,, ôç/, or|/, oÀ/ doivent être remplacés par leurs développements (2) ainsi que les L", ç", r,", gi et, dans ces développements eux-mêmes, il convient de remplacer iv"- et iv'f^ par n'^t + TSi,

Pour identifier les expressions (6) et (7), nous pouvons opérer de deux manières : nous pouvons adopter les constantes

qui sont celles (|ui figurent dans les équations (6).

Nous devons alors, dans les équations (7), remplacer les constantes

cos \V/, TO/, E/, . -CT/.

sin ''

par leurs expressions en fonctions des L^- , \\, ■/]! , expressions que nous avons appris à former au numéro précédent.

Quelle est alors la forme des seconds membres de ces équations?

Ce sont des séries procédant suivant les puissances de

Mais comme on a, par exemple,

E/, cos iv'f. — E^. COS77T/. cos Y/^. t -t- E/^ siii m'j. sin yj.. /,

TIIKOIŒMK ItK l'OlSSON. 3n I

nous voyons que ce seront des séries procédiinl suivant l.> puissances des , . ,

;JL, K/. CUSCT/., La-SUICT/^.,

et suixaut les sinus et les cosinus des multiples des ^(\t.

D'autre part, les L,, ;,. r.„ /.-iv'; sont développables suivaiv» les cosinus et les sinus des multiples des uj, et, par con-^é.picui, suivant ceux des r^i et des ii- 1.

Enfui, les coefficients de ces dt^cloppemenls déi)endenl <:iK.nc

des ^^ /.

Or, d'après le numéro précédent, les

W/, TO,, E/, costd;,., Ea siiiTH/. sont déveloi)pal)les suivant les puissances des

\^i 11 1 '1/ ' et il en est de même évidemment des cosinus et des sinu^ des multiples des to/.

Donc les formules (7) transfunnécs nous donnent

sous la forme de séries procédant :

i" Su iva n t les p u issa nées de

2" Suivant les sinus et cosinus des multiples des

3" Dépendant en outre des L} .

Le terme général est de la forme

00s , sin

où A dépend seulement des \V/„ où .m, est développé suiNunl lepuissances des 1} et r,/ et où

les Ai et les pk étant des entiers.

3o2 CHAPITRE XI.

Ce développement n'est pas encore identique au développement (6), parce que le nombre

qui est un monôme entier en [j.^ ;,, y),, a pour coefficient

. ces A . Vf,

SUl

qui dépend encore de ix, \^ et r^, .

En effet, les n^ et les y'^ sont développables suivant les puissances de

D'autre part, les

E|. = ( E/, cos nT;,)^4- ( E/, sin ^1, )2 sont développables suivant les puissances de