I-^) si) 'Ol

Donc les n- et les y'^. et, par conséquent, le coefficient v', seront développables suivant les puissances de

Pour identifier les deux développements, il faut donc encore développer cosv7 ou sinv'^ suivant les puissances de ces quantités.

Pour |j. = o, v' se réduit à

11 est clair que, par exemple,

cosV t = cos[v^ -+- (v' — v;<],

et peut, par conséquent, se développer suivant les puissances de (v'— v)^; le terme général est égal à un coefficient numérique, multiplié par cosv^ ou sinvt et par une puissance de (v' — v)^.

Ensuite v'— v, qui est d'ailleurs divisible par v, peut se développer suivant les puissances de jji, des ç, et des v],.

Le terme général du développement (7) ainsi transformé est

TUÉoKiiMi: m-: poisson. 3o3

alors

A!X«;>ki(v — v')"'f'« . v/.

et il doit alors être identique au déNeloppement (()).

183. 11 est alors aisé de se rendre compte de Torij^ine des diverses sortes de ternies du développement (6), c'est-à-dire du développement obtenu |iar l'application directe de la méthode de La g range.

Les termes séculaires purs sont ceux qui ne cuiiLicnncuL [jas le facteur cosv^ ou sinv^; ce sont donc ceux pour lesquels on a

Comme nous n'avons entre les n^ aucune relation linéaire à coefficients entiers, cela entraîne

c'est-à-dire que les termes séculaires purs proviennent des termes indépendants des w'- ei dépendant seulement des arguments w'f^.

Si, en effet, v' est divisible par pi, on ne pourra développer cosv'/ suivant les puissances de tx sans le développer en même temps suivant les puissances de t, ce qui fait apparaître des termes séculaires purs.

Quelle différence y a-t-il donc entre le cas actuel et celui du prublème restreint traité au Chapitre \ 11?

Dans les deux cas, nos coordonnées peuvent s'expriin,cr en lunctions développées suivant les cosinus et les sinus des multiples d'un certain nombre d'arguments variant proportionnellement au temps. Mais, dans le cas actuel, quelques-uns de ces arguments ont un moyen mouvement très lent s'annulant avec <j.; dans le cas restreint, au contraire, tous les moyens mouvements étaient finis. 11 en résultait que nous n'avions pas de terme en cosv'^, avec v' divisible par [j., et, par conséquent, pas de termes séculaires purs dans le développement de Lagrange.

Les termes qui dépendent des w", pour lesquels par consécpient le coefficient v n'est pas nul, nous donneront des termes périodiques et des termes séculaiies mixtes.

3o4 CHAPITRE XI.

Quel sera le rang des termes ainsi obtenus? Partons d'un

terme

.^,, cos , (8) AiJLaOlti . v'^

^ •^ sin

du développement (^) transformé; il nous donnera des termes de la forme