N COS

A [JiaDlLi(v — v)-"^'" . vt, ' sin

et si, en développant (v' — v)'" suivant les puissances de [j., eu trome

notre terme général deviendra

.^3^ Sin

Gomme v' — v est divisible par [/, l'exposant ^3 est au moins égal à m.

Le rang de notre terme général est donc

a + pi — in^i-x.

Comme a ne peut être négatif, nous voyons la raison d'être de ce fait démontré plus haut qu'un terme quelconque est toujours, au moins de rang zéro.

Ainsi les termes déduits d'un terme de Ici forme (8) ont toujours leur rang au moins égal à a.

On voit qu'on obtiendra les termes de rang zéro en faisant a ^ a dans les équations (7); comme, dans ces conditions, oL, oq, o-/), oA s'annulent, il reste

L/=L^ b=\'. ■ni=-nl X/=:.r^-+-^v+X?.

Là L", ç", r|", gi doivent être remplacés par leurs développements de la forme (2) et, dans ces développements, il faut encore faire a=o. On retrouverait naturellement ainsi les résultats du Chapitre IX.

Clierchons l'ensemble des termes séculaires purs, et d'abord en

TiiKouÈMr ni: poisson. 3o5

ce f|ui concerne les I.,, les ^,- elles r,,. Ce sont, nous venons de le voir, les termes indépendants des tv".

Mais nous devons nous rappeler comment ont (';l(' obtenus les développements (2); on a pris les développements (1), on v a fait T = o, on y a remplacé les ç", les y^" et les L" par leurs \aleurs en fonctions des (v'^. et des "\\'^ [valeurs déduites des équations (i3) du Chapitre précédent) et enfin on a remplacé les (T'/ par «t'J+ £fi.

Dans celte dernière substitution, un terme

A cos 2u^'' " ' donne

A cos \ /./(v;' cos \ /.v^/— Asin^/., H ; -in V/,^,-,

c'est-à-dire que tous les termes qui en pro\iennenl contiennent en facteur le cosinus ou le sinus de ^A',(ï'J .

Donc un terme indépendant des (17 (c'est-à-dire où les // sont nuls) ne nous donnera que des termes indépendants des (ï'J et in- \ersemenl uu terme dépendant des n^ ne nous donnera (juc des termes dépendant des a'J.

Nous voulons renscmble des termes indépendants des (vj; pour cela, nous n'avons qu'à prendre l'ensemble des développements (i), à y faille ■:=: o, à y supprimer tous les termes dépendant des iv, el à y remplacer les L", ^", r^f par leurs développements de la forme (2).

Nous aurons donc

termes séculaires purs de h, = L"

al.

ri, = rO^

ryr„.

.le donne au mot de valeur moyenne le même sens (pie dans li> Chapitre précédent, c'est-à-dire (pic je suppose (pie. ayant (b''\eloppé oL,, oç/, OT^i suivant les puissances de - d le-; cdsiiiu-; el sinus des multiples des (v, je n'y conserve que les termes indépendants de T et des «v.

Pour À/, il faudrait tenir compte en outre de ceux (pii pro- \iennent du terme (vj, de sorte qu'on aurait, pour les termes sécu- I'. — I. 20

3o6 CHAPITUE XI.

laires purs de )^,-,

X" + ///^ -H Trr,-H ^,-1- val, moy. ol,-.

184. Nous aurions pu également, pour comparer les développements (6) et (7), adopter les constantes

W/, E/,, ttt;,,;

il nous aurait suffi alors de remplacer les L^' , qj , ■r\- , rn/ par leurs valeurs données directement en fonctions de ces constanles par les équations (4). Nous aurions obtenu ainsi quelques résultais intéressants.

Nous aurions pu aussi faire la comparaison des développements sans faire un choix particulier de constantes.

Il en serait résulté de grandes simplifications et nous aurions supprimé des longueurs plutôt que des difficultés. Mais notre comparaison aurait été moins précise.

I80. Théorème de Poisson. — On sait que Lagrange a démontré un théorème dit de /' invariabilité des grands axes et en vertu duquel les développements des grands axes ne contiennent pas de termes séculaires, du moins si l'on néglige les carrés des masses, c'est-à-dire les termes de l'ordre de [jl-. Nous avons démontré plus haut ce théorème (cf. n" lOo) si important au point de vue de la stabilité du système solaire.

Plus tard, Poisson a étendu les résultats de Lagrange et établi un théorème analogue pour le cas où, tenant compte des carrés des masses, c'est-à-dire des termes en |ji.^, on néglige les cubes des masses, c'est-à-dire les termes en ji.'. On trouve, à la vérité, dans le développement des grands axes, des termes séculaires mixtes ; mais il n'y a pas de termes séculaires purs.

A-insi Poisson a montré que, dans le développement des grands axes ou, ce qui revient au même, dans celui des L,, il n'y a pas de termes en

Or les termes en [j.- sont d'ordre deux et de rang u/i. Nous allons maintenant démontrer ce théorème de Poisson ou plutôt nous allons établir un théorème plus général, à savoir que

TllÉOUICMi: DlC POISSON. ioj

dans le développe me ni des L,, // n^y a pas de termes srcidaires purs de rang un.

D'où, en efiet, pourraient provenir ces lermcs? Nous avons \u plus haut que, pour ohlenir les l( iiues séculaires purs de Lj, il faut prendre le développement de L/ sui\;iril les |)uissances de T et les sinus et les cosinus des multiples des w et ne conserver dans ce développement que les termes indépendants d<; t et des iic, ou, si l'on aime mieux, les termes clicrclu's ne sont |i,is niiiic cliosc <pie la valeur moyenne de L,-.

Or, plus haut, au n" 17o, nous a\ons dc'iuouln'- que la Nalciitmoyenne de A\'/ — L/ est divisible par u.-. Nous axons donc, poulies termes séculaires purs de L/,

où DL/ est développable suivant les puissances de [jl et des

,-, cos , sin

Rappelons d'ailleurs que

,,DL,-=-..,.,„„,.(2'^..'^'H;^e:;;i^).

Or Wi est une constante, ce n'est donc pas un terme sécuiaiic proprement dit; quant à [jl-DL/, il nous donnera des termes de la forme