SIM
OÙ l'exposant a sera au moins égal à deux, puisque -jl-DL, isi di\isible par ix-.
Or nous avons vu que les termes (pu proviennent de (8) sont :iu moins de rang a. Ils sont donc au moins de rang deux. Donc les L/ n'ont pas de terme séculaire pur de rang plus petit que deux.
Nous n'aurons donc pas de terme en a-/, mais nous aurons des
termes en
;j.2sinvV,
où V sera nul et où, par conséquent, v' sera di\isible par a.
3o8 CHAPITRE XI.
Soil, en développant suivant les puissances de a,
v'= ai ;ji -H a.2 ;j-- + . . . , nous aurons
Si nous développons suivant les puissances de |v., le premier terme du développement sera
Nous aurons donc des termes en >j.-^ t.
Après la découverte de Poisson, on crut longtemps que le iIk'orème était général et que, après l'avoir démontré d'abord pour la première approximation, puis pour la seconde, on ne tarderait pas à le démontrer également pour les xipproximations suivantes. De arands efforts furent faits dans ce sens et, naturellement, ils furenl infructueux.
En i8'^6, M. Spiru-Haretu montra Texistence de termes en ;j. ' / et ce résultat causa un grand étonnement, bien que, dès cette époque, quelques personnes en aient soupçonné la raison. 11 n'a plus aujourd'liui rien qui puisse nous sur|)rendre.
186. Revenons au Chapitre \lll. Au n" lii, nous avons trou\é la formule
et nous avons dit :
i" Que la seconde intégrale du second membre ne peut donner de termes de rang zéro;
2" Que les termes de rang zéro provenanl de la troisième inlc-grale étaient
3" Que la première intégrale ne pourrait donner d'aulrcs termes de rang zéro que ceux provenant des termes de rang i//tséculaires purs de
nikoUK.ME DE POISSON. Jog
Oi-. (r;i|>rès ce i|iii |>i'éct'<le, ces termes n'existent |>.i>. I.ii \n<inièrc iutéyralc ne donneiii (\o\u- pas de terme d»; ranjjf zéro. Donc Ic-^ IciiiK •> di- rani; zc/o de )./ ne jinurront être (jne
c'est-à-dire que Ion obtiendra les tcnnc'^ de ranf^ zàm de À, à I aidr de l'éqnalion
jointe d'ailleurs aux équations
(\m nous donnent les termes de rang zéro des zj cl des Tj/.
Comme R ne dépend pas des A/, mais seulement des L/ (qui. si l'on se borne aux termes de rang zéro, comme aux Chapitres \ 111 et IX, doivent être regardés comme des constantes), ainsi que des Zi et des Tj/ qui ont été complètement déterminés à l'aide des équations (lo).
Les seconds mendores des équations (9) sont donc des fonctions entièrement connues, de sorte (jue ces équations (9) pourront s'intégrer complètement par une simple quadrature.
On obtiendra d'ailleurs ces termes de rang zéro de )./, qui ne peuvent être que séculaires purs, en partant de la formule
termes séculaires purs de X,= X" -i- n',f -+- Wi-+- g'i-{- val. luoy. oX,,
et en faisant a = o dans gi et o).<. Alors oA/, qui contient ;j. en tacleur, s annule et il l'este
X? -!- n'i ^ -^ 713/ -}- ffi.
Suit, il autre [>art,
Les termes
étant de rang a — 1, nous ne conserverons (juc le premier dcntrc eux :
3lO CHAPITRE XI. — TllKUKlÎMIi DE POISSON.
et il nous restera, pour les termes de rang zéro de À/,
X? + Jli -\- VJi + « /' ' [JL ^ -1- gi.
Or gi est développé suivant les puissances des
E/. cos (!•/., E/. sin»'/..
C'est donc une fonclion périodique des (v', et si nous nous rappelons la façon dont nous lavons formée, en n'ajoutant pas de constante arbitraire après l'intégration, nous vojons que la valeur moyenne de cette fonction périodique est nulle. Il en est de même
cl '^ •
de la valeur aiuyenne de — ^ •
Donc, si nous remplaçons dans 11 les ç,- et les y),- par leurs développements siii\aiit les puissances des
E/,cosn/ et E/.sinuY, la valeur moyenne de
dU
sera égale a
Il s'agit ici des développements étudiés au Chapitre IX, puisque nous ne considérons ici que les termes de rang zéro. Donc ces développements ne contiennent que des termes de rang impair par rapport aux E/^ (^cf. n"' 144- et suiv.), donc les H,- et les yj/ s'annulent avec les E;t.
Le coefficient «I" est développable suivant les puissances desEi(; pour avoir le premier terme de ce développement, il faut faire
E/;=o, cest-à-dire
Alors R se réduit à ce que nous avons appelé Rq aux Chapitres VIII et IX; on aura donc, pour Ei(.= o,
Ainsi, dans le développement de n- suivant les puissances de [x et des Ej5, le coefficient de [jl est -77-^ •
CHAPITHE Xll.
SVMKTHIE DES DKVEL0PPE:SIENTS. SOIATIO.NS PÉRIODIQUES.
187. Symétrie. — Reprenons les développemenls du Cliapilie X (|iii procèdent suivant les sinus et les cosinus des multiples des arguments iv' et iv". Nous pouvons exprimer ces sinus ou ces cosinus à l'aide d'exponentielles imaginaires et écrire ces développements sous la forme suivante :
et où les coefficients A, B, C, C dépendent des constantes AN etE.
Pour satisfaire aux écpiations du momement, û faut poser
d'où
où
V = 2 kj n'j — V Pj ./. , /' = 2 ^"^ "^^ ^ 2 ''^ ""^ ■
Aux équations (i) nous adjoindrons les intégrales des aires que
nous écrirons
U = const., V = const.,
en conservant aux lettres U et \ la même siguilicatiou cpu' dau> les Chapitres IX et X. Dans le cas où l'on est obligé d'avoir
iVl rilAlMTIU: \II.
recours à raitifice du n° 178, c esL-à-dire de rapporter le système à des axes mobiles tournant autour de l'axe des .r^, les équations deviennent
. , clL <:/(F + a;jLin
[équation (20) du n" 178].
Nous avons trouvé alors, au n° 179, que U et V au lieu d'être des constantes sont proportionnels au cosinus et au sinus de yjxl 4- //, de sorte que l'on peut écrire
K et II sont des constantes réelles et K dépend des constantes W et E.
En elï'el,
s'exprimant aisément à l'aide des La, des ça el des r,A, est une fonction des W, des E, des iv' et des tv"; comme d'ailleurs c'est une constante, elle ne pourra dépendre des w' et des \v", mais seulement des W et des E.
Observons maintenant que les équations du mouvement ne changent pas f[uand on fait tourner tout le système d'un angle s autour de l'axe des x^. Cette propriété est vraie des équations ordinaires du problème des trois corps; elle est vraie également des équations (2) [équation (20) du n" 178].
On doit donc pouvoir donner, aux constantes d'intégration
W, E, Tnj, m'j,
des accroissements tels que tout le système tourne d'un angle t autour de l'axe des ^3, c'est-à-dire que
(3) La-, ^'/t, ^/. + '''')/■, :/, — '''j/.se changent en
(4) La-, X/. + S, (U^i'ri/c)e-'^, (h-— i-n/,)e'-.
Et en effet si nous faisons la transformation qui consiste à remplacer les quantités (3) par les quantités (4) (' étant un angle constant quelconque), les équations du mouvement ne changeront pas; donc on devra retomber sur une nouvelle solution particulière
SV.MKTHII; i)i:s nKVKuoiM'r.MKNTS. soi.rnoNs pKRioniQiES. Sri
(le CCS é(|uations. coiTespoïKlaiil à il<' iiniivcllrs Nalciii-^ i\c> constantes d' intégration.
Si ranglo s esl iafinimonl petit, les accroissements des con- >lantes d'intégration seront des iidniinienl petils
11 en résulterii |»(>nr
A, lî, G, C, K, n'j, ij
des accroissements
Z\. olî. oC, oC, oK, o«;, 07},
pour Kv" \\\\ accroissement m"j et pour -i un accroissement
ry^ zzn t OV -j- O//, 1 '
L)"un autre cote, Da, Aa, ça+'^ia- Ha — iVjA devront subir des
déplacements
(, ;/.■ -+- rr,A) i£ = — /î 2) ^ ^"^'
de sorte que l'on aura
o = y SA e'"? 4- ?:21 -^ '^''^^'^
^ t '^jH,
yoii
B ov/e«?
Les deux M.cud)res des équations (5) sont développés suivant les puissances de t (qui ne figure d'ailleurs qu'à la puissance o et a la puissance i) et suivant les sinus et les cosinus des multiples des n'jt et des y}/. Ces deux membres sont donc «le la l'orme .b-s fonctions considérées dans le lemme du n° 107. Ce lemme s'api-lique
'^'^ CIIAPIÏHK XII.
donc; c'est-à-dire que nos équations ne peuvent avoir lieu que si les termes semblables se détruisent.
Donc les termes en t, ou en te^'^, qui ne figurent pas dans le premier membre, doivent s'annuler dans le second.
Donc : i" on aura
ln\. = o ;
2" Pour tous les termes dont le coefficieul A, B, C ou G n'est pas nul, on aura
ov = o.
Or les termes les plus importants du développement de ^k± iti^ sont ceux que nous avons trouvés au Chapitre VIII. Ce sont des termes en
Ils ne s'annulent |)as en général et ils ne peuvent se réduire avec les termes suivants puisqu'ils sont beaucoup plus grands que tous les autres quand [^ et les E sont très petits. Or si o = iv'-, on a
yj — - ■•/ '. •
on a donc
Les n';^ et les y'j sont des fonctions des constantes W et E; alors une question se pose : des 3n équations
peul-on déduire les An équations
La réponse est aisée; on a évidemment
donc, si le déterminant fonctionnel des n',^ et des y' j)ar rapport aux W et aux E n'est pas nul, c'est-à-dire s'il n'y a pas de relation entre les fonctions n'^ et y^ , les équations (6) entraîneront les équations (7).
Si toutes les planètes se meuvent dans un même plan, de telle
SYAiÉTKiK i)i:s i>i':vi:i.oiM>i:.Mi:Nr.s. soi.i ri()>s l'Éiuoinui i.s. 3i »
l'açon (jn'il n'y ail |)as à st' ijrcoccupcr des inclinaisons, on a seulement n argumenls n" el n ar^nmenls tv', el, entre les 2// coefficients correspondants // et y', il n'y a aucune relation (nous reviendrons sur ce point au niniu'ro sui\anl ).
Si toutes les planètes ne se uicuvent pas daus un même [)lan de iclle façon que l'on ail à tenir compte des inclinaisons et que l'on ait à employer l'artifice du n" 178. il y aura une relation. piiis(pn' l'on aura, d'après le n" 179,
c'est-à-dire quey.',,^ est une constante indépendante desEel (l«> W . Dans ce cas, il conviendra d'envisager la constante
c'est la projection du vecteur des aires sur le plan des x^x.>■. elh-
ne change donc pas quand l'on fait tourner tout le système d'un
ano^le e (ce qui revient à un changement d'axes de coordonnées où
l'axe des Xz et le plan des X\ x^ sont conservés).
On aura donc
oK = o.
Or entre les U/^, les y) (en exceptant yl,,) et K, il n'y a aucune relation (je reviendrai sur ce point au numéro suivant). On pourra donc toujours raisonner de la même manière et, des équations (6) auxquelles on adjoint oK = o, on pourra déduire les équations (7^
oW = oE = o.
Comme A, B, G, C ne dépendent que des W et des E, on en conclut
SA = oB = oC = oC'=o,
et nos équations (5) deviennent
z= t V Bo/ie'?-i- ocî/,.
(5 bis)
3l6 CHAPITUE XU.
La première de ces éqiialions nous apprend que, pour tous les
termes de La, on a
De même on a
?jJl = o,
pour tous les termes périodiques de À/,.
D'autre part, la deuxième équation nous montre en outre que
orn/. = î .
Enfin les deux dernières équations nous moulrent que pour tous les termes de ^h ou de r^k-, on a
oh =-£.
11 en sera de même pour tous l(;s tenues de ç), et -^^5 où les ç) et les 7))^ sont liés aux ;;; et aux r,A par le changement linéaire de variables du n° loi.
Or parmi les termes de \k+ i'r\k-, il J '» des termes en
qui ne s'annulenl pas puiscpie leur coefficient est très voisin de E/, pour !JL et E/t 1res petits.
Pour ces teruies on aura
et par conséquent On a donc
OTTJy. := — S.
11 \ient donc en général
rJl
Doù cette conséquence
^''j-^PJ
Pour tous les termes de L;tetde)vAOn a entre les entiers kj el pj la relation
Pj = o-
SYMKruii: DKs i)Kvi:r,oi'i'i'Mi:NTS. solltions pkiuodiqlks. 017
Pour tous les termes de ça et de -/-.a- '»"i '^
Ces résultats sont analogues à ceux que nous avons ol)leniis aux n"' 116 et 16!2. Remarquons (jue nous aurions pu raisonner ici comme aux Chapitres VI et VII cl inverseuient qu'au Chapitre Vil nous aurions |)u raisonner comuie nous le faisons ici.
188. Au nuaiéio précédent nous avons annoncé, sans \c <l('montrer, qu'il n'v avait pas de relation entre les 11' et les y' si toutes les planètes se meuvent dans un même plan et que, dans le cas contraire, il n"v a pas de relations entre les n' , les y' et K. Nous en avons conclu les équations
oW = oE = o.
Il serait aisé de vérifier cette assertion en se bornant aux j)remiers termes des développements, mais on peut arriver au résultat j)ar une voie plus simple.
Reprenons en efïet les variables H', et r,;. qui sont liées aux ça et aux YiA par les relations linéaires du n" 151; on pourra les développer sous la même forme et écrire
en mettant en évidence le terme tout connu Dj : de même dans !.• développement de La je puis mettre en éNidence le terme tout connu et écrire
Quand je ferai tourner tout le système d'un angle z, on v.)it (pu- ^^ l rjf ne change pas, et il en est de même de La; on a donc
5D/'- - y oD ei'-? -h i ^ D ocp e'? = o, 5AJ- + y oA e'7 + 1 2 "^ '^? ^'^ ^ °'
Les termes tout connus doivent s'annuler, d où
(8) 8D5 = o. Sk'i=o.
3i8 ciiAi'inu: xii.
Les Df, et les A(i sont des fonctions des W et des K. Les équiitions (8) entraînent-elles les équations (7)? 11 suffit pour cela, comme nous l'avons dit, qu'il n'y ait aucune relation entre les D(j et les Aq. Or cela est aisé à vérifier.
Il suffit de faire la vérification |)our [jl^o. Or, |)our ul = o, on a
f>/. = W/, el par consé(pient
Af; = W/,.
Pour jj. = o, les ç/,, les /,/;, les ç^. et les r^'/^ se réduisent à leurs termes de rang zéro, c'est-à-dire à leurs valeurs telles qu'elles ont été calculées dans le Chapitre iX.
Il nous suffira de faire la vérification pour les petites valeurs des excentricités et des inclinaisons', c'est-à-dire pour les petites Naleurs des E^. Il est clair en efl'et que, s'il y avait des relations entre les A^ et les D", ces relations subsisteraient quand on réduirait les développements à leurs termes de degré le moins élevé.
Or, pour les petites valeurs des E/^, nous pouvons réduire les ça et les yjA aux premiers termes de leurs développements suivant les puissances des E^, c'est-à-dire à leurs valeurs telles qu'elles ont été ^•alculées dans le Chapitre VIII. On a alors
€t ])ar conséquenl
Il n'y a donc aucune relation entre les Ay= Wa et les Dj= E^.
Donc les équations (8) entraînent les équations ( - ) et par conséquent
0 A = oB = oG = oC = o.
On peut poursuivre l'analyse comme au numéro précédent.
189. On peut en déduire des conséquences sur la façon dont les n'/^ et les y' dépendent du coefficient a qui figure dans les équations (20) du n" 178 [équation (2)]; appelons (2 bis) ce que deviennent les équations (2) quand on y remplace a para-|-oaen
svMETUii'; ni;s dkvi:loim'k.mi:nts. t^oi.LTioNs PEnioDigiEs. Jiq
donnant à a un accroissement ôa. Alors à une solution
des équations (2) correspondra une solution
La-, ),/,-i-oa[a/, (ï/^.-<- jr;^)e-'8«P-', (i,^— ir,j,)e'^'^V-t, ç'a' -+" -n'A?
des équations (2 bis).
D'autre part on pourrait conce\oir (jue, pour passer d'une solution particulière des équations (2) à la solution corresj)ondante des équations (2 bis), il fût nécessaire de donner aux constantes d'intégration de petits accroissements.
Les coefficients A, ..., v, ... subiront également des accroissements, d'une part parce qu'ils dépendent de ces constantes et d'autre part parce qu'ils dépendent de a. Nous sommes donc conduits aux formules suivantes, analogues aux équations (5), où toutefois nous avons mis en évidence comme au numéro précédent les termes tout connus 5A](. et 8D^ :
o = oA2.+ y oX e'? -+- i V A h te'? -+- i\ A i/ie'9,
/ ijL oa = / on\. -+• ocT/; -+- ^ r^B e'Y -h t \^ B ov te'V -i- t 7 B o/i e' r ,
(9) I — i7[a. oa V G e'9 = V oG e'? -1- t V G ov/e'? -t- i V G ohe'r,
il IX oa 2 Ce-'? = y ^^'^ '?— «y G' ov te-'?— i\ G' o/i <?-'?,
o = oD/^.+ V oD e'? + «V D ov te'? +1^0 o/jc'?.
Egalons encore ici les termes semblables; nous trouverons d'abord
d'où
aw = SE = o.
Nous voyons ensuite que ov et oh sont nuls dans les développements de
La, A.t, ^^. -t- «Aet que
OTU/,. = O.
Mais le point le plus important au point de \ue (pii nous occupe.
32() ClIAl'ITlti; Ml.
c'est que l'on a, en égalant les termes en / dans la seconde équation
;ji 07. = 'J/'/, .
et en égalant les termes en te''^ dans la troisième et la quatrième,
