OV
et cela pour tous les termes de \k et de yia dont le coefficient n'est pas nul. Or, parmi ces termes, il y a comme nous l'avons vu des termes en
oi^i
On a donc
0V/. ^ [^ oa.
Ainsi tous les on'^ et les oy). sont égaux entre eux; les difïerences n'i^ — // , v)^. — y' , n). — y', sont donc indépendantes de a. Comme nous avons vu d'autre pari que y.',^^ est égal à ajA, nous pouvons conclure que /?^. — aa et y^ — api sont indépendants de a.
Dans les développements de La et de X/f, on a
d'où
ce qui montre que v est indépendante de a.
Si donc on regarde les constantes ro et rrr' comme indépendantes de a, l'angle cp sera indépendant de a, et il en sera de même de sVf. — ■ atx^. Il en sera donc de mémo de L^ et de \h — s'-jj. /.
Quand donc a se changera en a + oa, les quantités La et Xa se changeront en La el \k-\- oy.^^xl.
Dans les développements de ça et y-ki on a
et par conséquent
SVMKTIUE llKS IlKVKI.ol'I'ICMKNTS. SOI.LIlnNS I>KHinilly L i;S. '5 .». I
ce tjui |)r()iive cjue v — au. est indépendant de a. «-l par consiMjiK ni (|uc 'i + auL^ est indépcndanlc de a.
Donc
est indépendant de a, et il en est de même de
Cela veut dire que quand on changera a en a J- oa, les expression^ ç/,-f- /t.a et Ça — ir,k se changeront en
Donc pour passer d une solution des équali<»ns (2) à la >()lulmii correspondante des équations (2 bis), il sullit de changer a en a + oa, sans rien changer aux constantes d'intégration \^ , E, rry, to'.
On pourrait d'ailleurs se borner à constater qu'en changeant dans nos développements
w" en (r"-+- 07. 'xt^ w' en ir' — o'x ;jl/,
en conser\ant les mêmes constantes W et E, on change La, A/.,
Ha+'>.a, ;a— ''y, a- en L^, Aa + oa u.i
c'est-à-dire que Ton passe d'une solution des équations (2^ à iinr solution des équations (2 bis). Cela résulte immédiatement dc> relations
ou
sans que Ton ail besoin de recourir à r.inalvse (pii précède.
Tout cela nous montre que le passage de la solulion générale des équations (2), c'est-à-dire des équations (20) du n° I7S. à celle de l'équation <lii mouvement des trois corps rapportés à deaxes fixes, se fait d'une façon immédiate; les coeflicienls des déve- W - I. -»'
loppements (A, B, C, G) ne dépendent pas de a; seuls les moyens mouvements dépendent de a et ils en dépendent linéairement. Il suffit donc de donner à chacun de ces moyens mouvements la valeur qui correspond à a= o.
Dans ces conditions l'un d'eux s'annule, c'est y'^^^. Si d'ailleurs nous choisissons le plan invariable pour plan desii7,:c2, la quantité que nous avons appelée Eo^ s'annule; de sorte que les termes qui dépendent de l'argument n'I,^ disparaissent d'euxmêmes.
190. Conjonctions symétriques. — ■ vSupposons qu'à l'époque / r= o tous les astres se trouvent dans un même plan que j'appellerai P et que toutes leurs vitesses soient dirigées perpendiculairement à ce plan.
Nous dirons alors que les astres sont en conjonction symétrique. Dans ce cas, il arrivera que si l'on compare les positions d'un même astre à l'instant t et à l'instant — t ces deux positions sont symétriques l'une de l'autre par rapport au plan P. C'est là une conséquence immédiate de la symétrie de nos équations.
Nous pouvons supposer que l'on ait défini les constantes ro et m' de telle façon que les arguments w' et (v" s'annulent au moment de la conjonction symétrique, c'est-à-dire pour / = o. Quand nous changerons t en — ^, c'est-à-dire quand nous changerons les w' et les (v" en — (v' et — w'\ la position de chaque astre sera remplacée par sa symétrique par rapport au plan P. Si nous choisissons le plan P pour plan des x^Xz^ cela veut dire que L/;, >'>A, ^A, '^A se changeront en L^, — Aa;. Ça et — 'i\k- Donc dans nos développements procédant suivant les sinus et les cosinus des multiples des w' et des tv", les L/i et les \h '^^ contiendront que des cosinus, tandis que les âa et les r,A i^e contiendront que des sinus.
On pouri'ait croire qu'en nous imposant la condition de la conjonction symétrique, nous avons restreint la généralité, mais en réalité, nous ne l'avons pas fait d'une façon essentielle. Si en effet il y a /î -h I corps dont le centre de gravité commun est supposé iixe, c'est-à-dire n planètes, il nous reste, au moment de la conjonction symétrique, des arbitraires au nombre de 3/«, à savoir les 2fi coordonnées des n planètes dans le plan P, pris pour plan
SVMKTHIE Di:S DÉVELOIM'EMKNTS. SOLUTIONS l'KHIOOIOl KS. 3'.>.3
des.r,X3, cl leurs n vitesses dont la direcliou iiou> esi iiii|)osée, mais dont la grandeur reste arbitraire. Nous pouvons alors profiter de celle indélerminalion pour choisir arliilniirenient les '.\ n conslanles W et E.
Or nos inconnues ne dépendent que de ces 3/i constantes et des ?»n arguments tr' et <t"; nos déveloj)peuienls qui contiennent les uns seulement des sinus, les autres seulement des cosinus nous suffisent donc pour nous donner la solution la plus générale. En donnant aux constantes th et ro' la valeur zéro, on aura la solution particulière qui correspond au cas de la conjonction symétrique; en leur donnant des valeurs quelconques on aura la solution généi-ale .
191. D'autre part, si nous remplaçons le système par un autre symétrique du premier par rapport au plan des ^, x^-, les E cl les ). ne changeront pas, non plus que les variables excentriques tandis que les variables obliques changeront de signe.
D'ailleurs, en vertu de la symétrie des équations, si les positions initiales des deux systèmes ainsi comparés sont symétriques l'une de l'autre par rapport au plan des a:^) a?2, il en sera de même de leurs positions à un instant quelconque.
Soient donc
\Va, E/,, ro/,, w',.,
les valeurs des constantes d'intégration qui conviennent au premier de ces deux systèmes; on doit pouvoir trouver d'autres valeurs de ces constantes qui conviennent au second système, c'est-à-dire telles qu'en les substituant aux valeurs primitives de ces constantes on change le signe de toutes les variables obliques sans altérer les autres variables.
Soit alors, pour le premier système,
Ae'?
un terme quelconque de l'un de nos développements, la Idlre o ayant la même signification qu'au n" 187.
Soit A'e'^?+'^^ le terme correspondant pour le second système. Les deux développements devront être identiques au signe près. Si donc on a afTiiire à Lyt, \k ou à une variable excentrique, on
