i cil M'II ItK \ll

aura (en égalant ternie à terme les dévclo|)pements correspondants)

Ae'¥= A'e'''?+''''.

Si l'on a affaire à une variable oblique, on aura au contraire

Ae'9 = — A'e''?+'''',

ce <|ue l'on peut réaliser de deux manières :

i" En faisant

2'^ En faisant

A = A', h = TT.

Pour fixer les idées à ce sujet, nous supposerons qu'il y ait conjonction symétrif|ue à l'instanl / = o, c'est-à-dire que les constantes m et m' soient nulles. Ainsi que nous venons de le voir, cela ne restreint pas la généralité d'une manière essentielle. On

aura alors

avec A = A' pour les L, les /. et les variables excentriques et A ^ — A' pour les variables obliques.

Rappelons d'abord que, dans les conventions faites dans les Chapitres précédents, les indices impairs ont été affectés aux variables excentriques H et r, ainsi qu'aux E et aux (r' correspondants, tandis que les indices pairs ont été affectés aux variables obliques ç et 7j ainsi qu'aux E et aux iv' correspondants.

Que de\iennent donc les constantes W et E c[iiand l'on passe du premier système au second symétrique du premier par rapport au plan des a?) Xa?

Je dis que les W ne changent pas, non plus que les E d'indice impair, tandis que les E d'indice pair changent de signe.

D'abord pour les W. Nous avons vu que W, n'est autre chose que la valeur moyenne de

j^ an/ ^lai dwi

prise par rapport à t et aux w (valeur moyenne qui s'obtient, je le rappelle, en exprimant tout en fonctions de v et des tv et conservant seulement les termes indépendants de t et des ce). Quand l'on veut

SYMÉTIUIi DES Dlivi: I.OIM'EMENTS. SOI. L 'FIONS l'iiniOUIQl ES. "ii'i

ensuite tout exprimer en fonctions des nou\eaiix argnnienls iv' et iv", il faut, coninie nous l'avons oxpliqnr au C,li;ipitiT \, f;iiic

puis remplacer \J-, g',-, ;'', y," par leurs Nalcuis en r()n(ii(»iis (l(■•^ tv'. On voit que les termes dépendant de t disparaîtront (piand on fera T=o; que les termes indépendants de t, mais d<'|)endant des (v, nous donneront des termes dépendant des iv", tandis (|iir les termes indépendants de t et des a' nous donneroiil des Icnues indépendants des iv".

La valeur moyenne par rapport à -: cl aux ir, ne dillerera iU)W [)as de la valeur luojenne par rapport aux n". Dautre pari

dwi dsVi div'i dw"j

de sorte que finalement W/ n'est autre chose que la valeur moyenne par rapport aux u" de

( 1 o bis ) > L — — : -H > : —, — :. •

^ ' ^ dwj A^ ■ dwi

Remarquons en passant que \^ / étant une constante, cette expression (lo bis) ne peut contenir de ternie indépendant des iv" et dépendant des t\'. Or si nous nous reportons à la comparaison des développements du Chapitre XI, nous voyons tout de suite que les termes séculaires purs pro\ iennent du développement des termes qui dépendent des tv' sans dépendre des «•". L expression (lo his)^ ou si l'on aime mieux l'expression (lo), ne peut contenir de termes séculaires purs.

C'est là une généralisation du théorème de Poisson.

Quoi qu'il en soit, quand Ton passe du premier système au second L et ). ne changent pas, ç et r, ne changent pas non plu>^ quand l'indice est impair (variables excentriques) ; ç el r, cliangcnl de signe tous doux quand Tindiee est pair. En résume, 1 expression ( lo bis) ne change pas. Donc W/ ne change pas.

Passons aux Ea. Soit Aa le coefficient de cos<v^. dans lun de nn> développements; comme tous nos développements doivi-nl procéder suivant les puissances des EycostVy, Eysintv'. nous (le\<>n>

32() CMAPITRK Ml.

conclure que le rapport

est (Jéveloppable suivanl les puissances des Ej ; nous avons donc des équations de la forme

A/,=.E/,«>/,(Ef, E|, .... P/^„) (A=i, 2, ..., a/i),

(rù les z,h sont des séries ordonnées suivant les puissances des Ej. De ces équations, on pourra, par le théorème sur le retour des suites, déjà appliqué aux n°' 66 et J81, tirer les Ey en séries ordonnées suivant les puissances des A^. Il résvilte des formules précédentes que quand on change le signe de E/i, celui de A^f change. 11 en résulte que le développement de E/t suivant les |)uissanccs de A doit être di\isible pa:r \a et que le quotient

Ej

ne devant pas changer quand on change le signe de l'un quelconque des Ay, procédera suivant les puissances des Aj et que l'on aura

E/,= A/,i|^/.(Af, A?, ..., A2„) (A- = [, ■>., ..., -y.n),

les 'h procédant sui^antles puissances des A'j.

Or nous venons de voir que, quand on passe du premier système iiu second (qui est symétrique du premier par rapport au plan des XiXi), le coefficient A;^ ne change pas si l'indice k est impair, et change de signe si cet indice est pair, 11 en est donc de même <!<■ I;i constante Ey;. c. Q. F. d.

Nous avons vu d'autre paît que tous les coefficients A du développement des L, des \ et des variables excentriques ne changent |)as quand on passe du premier système au second. Tous ces coefficients sont donc de degré pair par rapport aux constantes E^ d indice pair; dans chacun de leurs termes, la somme des exposants des constantes E^ d' indice pair est donc paire.

Mais ces développements procédant suivant les puissances des E^cosw^ et des Eytsintv)^, Texposant de Ek est de même parité que le coefficient du »Vy correspondant {cf. n" 69).

SYMKTUin: DES DKVEI.OPPEMENTS. SOLUTIONS PÉRIODIQUES. oiy

Donc la somme des coefficients des arguments (v^ d^ indice pair est paire.

Dans les développements des variables obliques, au contraire, chaque coefficient change de signe quand on passe du premier système au second. Donc, inversement, la somme des exposants des constantes ^,1^ d'indice pair est impaire, ainsi que la somme des coefficients des arguments ^v]. d' indice pair.

J92. Coordonnées héliocentriques. — Les coordonnées héliocentriques rectangulaires des planètes, leurs rayons vecteurs, les cosinus et les sinus de leurs longitudes et de leurs latitudes, leurs distances mutuelles sont des fonctions uniformes des éléments canoniques L, ).. ç, r, . Comme L/;, ^^a— «'"'Â, ^a, '^,/. sont des fonctions périodiques des arguments (T'', n ", il en sera de même des coordonnées héliocentriques, des distances mutuelles, etc., de sorte cp^ie ces quantités seront développables suivant les sinus et les cosinus des multiples des ir' et des w" . De plus elles sont développables suivant les puissances des E^cosa"^., E^siniv^., puisque les éléments canoniques le sont. Ainsi les développements des coordonnées héliocentriques, des distances mutuelles, etc. seront de la forme

Les coefficients constants A dépendant seulement des W et de u, et I I (E'J') désignant le produit de in facteurs de la forme EJ'. En raisonnant comme au n" (39, on verrait d'ailleurs que (^lJ = Pi (mo(l2) qj^\Pj\-

Quand nous ferons tourner tout le système d'un angle £ autour de l'axe des x-i, c'est-à-dire d'après le n" 187, quand nous changerons »'" et Wj en w":-{-z et it- — c, les distances mutuelles des n -f- 1 corps ne changent pas; il en sera de même des coordonnées héliocentriques

ou

relatives à l'axe des Xx.

3,,8 ciiAPiTun; xii.

Les coordonnées relatives aux axes des X\ et des .r. subiront au contraire un cliaiii^cinenl; il est clair en eOel (juc

X\ -\' IX-y^ X\ -T~ l X -^^ . • .

>c clianj^eront en

{x\^ ix'.{)ei'=-. (■.r^+ ij-j)e'ï, ..., I x^ -+- t-r, ) c'^ ( •/'i -t- 1^7, ) P'', • • • ,

hmdis (|iir

X I t X .,.^ X t^ IX -^^ * • • î

X{ — IX^^ X\ it^oi

><■ cliangcront en

{x\ — ix'.,)e~>'^, {x\^—ix\^)e-''=-, ..., Il en résulte que

dans le dévelo|)penient des distances mutuelles et des coordonn('es el (jiic

<lans le dévelo|)|)ement des coordonnées

x^, x.^, .r.|, x~, '•■', .^1, -^2' ^tf! ^âi ••■■

A cause de la sj niétrle j)ar rapport au plan des x^ x-i {cf. n" 190), les développements de

iiH contiennent (|u(' des cosinus, et il en est de uième de ceux des rayons vecteurs et des distances mutuelles. Au contraire, l(;.s développements de

ne «Diiiicnnenl (|ue des sinus.

A cause de l;i syiiK-lric; par rapport au plan des XsX-^ (cf. u" 191),

SYMÉTRIli DES DKVKI.OPI'KMKNTS. SOLUTIONS PKUIODIOl'KS. 829

les développements de

.T[, 3C .j, ^ !,t "^ô) •■•. -^Ij Xo. ^V, "«^o) • • •

jouisseul (le cette propriété que les deux sommes

sont paires quand la sommation est étendue à toutes les valeiiis paires de l ' in dice j .

Il en est de même pour les distances mutuelles et les rajons vecteurs.

Au contraire, dans les développements de

■^31 "^ (i ' • • • • "^-i' ''"fi ) .... ces deux sommes sont impaires.

193. Nombre des arguments. — Supposons qu'il y ait /i -\- \ corps, soit n planètes; le nombre des arguments est de'o/i, à savoir o.n arguments iv' et n arguments (v". Si Ton rapportait le système à (les axes mobiles de façon à retomber sur les équations (20) du n** 178, tous ces arguments seraient distincts; car il n'y aurait entre les moyens mouvements n'^ et — v^ aucune relation linéaire à coefficients entiers.

Mais il n'en est plus de même si nous prenons des axes llxes (c'est-à-diie si nous faisons a = o dans les équations (20) du n" 178). Dans ce cas, en effet, l'un des moyens mouvements y^,^ est nul, de sorte que l'un de nos arguments (v^^ se réduit à une constante. Nous n'avons plus alors que 3n — i arguments distincts.

Observons que, si nous prenons le plan invariable pour plan des iCiX-i, on a

Ey„ = G.

Pour nous en rendre compte supposons de nouveau a dilléicut de zéro et reprenons les équations démontrées plus haut (cf. 179) :

U = K sin(aa/ -+- /i ), Y = K cosiaa/ -+- h);

nous avons vu que c/.y.t -+- Il n'est autre chose que (v„ ; il en résulte que K contient en facteur Eo,< ; si donc je fais Eo„=o, les deux quantités U et V seront constamment nulles, c'est-à-dire ([iie le

33o CHAPiTniî XII.

vecteur des aires sera conslaminent normal au plan des XtX2', ainsi la condition Eo«=: o équivaut à celle que le plan des XiX.2 et le plan invariable coïncident.

Pour passer du cas où a n'est })as nul, à celui où a est nul, il suffît de conserver les mêmes développements mais en attribuant aux moyens mouvements d'autres valeurs (cf. n" 189 in fine). La condition pour que les deux plans coïncident restera donc la même, c'est-à-dire Eo„ = o.

Si l'on faitE2„:=o, tous les termes qui dépendent de l'argument (v!,,^ disparaissent; dans ceux qui resteront, nous aurons donc

pour certaines de nos coordonnées,. et

pour d'autres coordonnées et pour les distances mutuelles et cela m donnant à V indice j de pj toutes les valeurs, sauf j =iin. Les distances mutuelles auront donc un terme général de la forme

ou

Pln= O,

ou ce qui revient au uième

où l'indice de /.y peut prendre les valeurs

et celui de/>/ les valeurs

Donc les distances mutuelles ne dépendent que des 3 — argunients

SYMÉTRIE DES DÉVELOPPEMENTS. SOLUTIONS PÉRIODIQUES. 33l

Cela a été tltMiinutré eu clioisissaiil le plan iii\ ariable pour plan des ôCiX.,', mais, les distances mutuelles étant indépendantes du choix des axes, cela reste vrai quel que soit le plan des XfXo choisi.

En particulier les distances mutuelles dans le cas du problème des trois corps dépendent de cpiatre arguments.

Si le mouvement est plan, nous n'avons que n arguments iv" et n arguments iv' \ tous ces arguments sont distincts, de sorte que les coordonnées dépendent de 2 n arguments. Les développements des distances mutuelles satisfont à la condition

Les distances mutuelles ne dépendent donc que de a/? — i arguments (3 dans le cas des trois corps).

Supposons maintenant que Tune des masses soit infiniment petite. Dans ce cas nous aurons n corps (/i — i planètes) dont les coordonnées dépendront seulement de 3/? — \ arguments

n-;, II-';, ..., »'';,, «*-';„

Tout se passera en effet pour eux comme si la masse infiniment petite n'existait pas, puisque son action est trop petite pour troubler leurs mouvements. Quant à la masse infiniment petite, ses coordonnées dépendront en outre des trois arguments nouveaux

Quant aux distances mutuelles des n gros corps, elles dépendront de ?in — ^5 arguments seulement; celles du petit corps aux gros corps dépendront de 3/i — 2 arguments, c'est-à-dire toujours de trois arguments nouveaux.

Supposons maintenant que nous ayons trois corps seulement dont l'un infiniment petit. Cela revient à supposer dans le cas précédent /?= 2 ; on n"a plus alors que deux gros corps; mais les coordonnées des deux corps, dont le mouvement est alors képlérien, ne dépendent plus de 3 n — 4 = -^ • 2 — 4 = 2 arguments, mais

33 >. criAPiTiU': \ii.

d'un nrgiiinenl seulement; cela lient à ce que le périhélie étant li\e, rargumeiil ir'.,,^^ = a-.^ se réduit à une constante. Les coordonnées du petit corps dépendent alors de

OU (^ puisque w'.^ est une constante) de quatre arguments distincts seulement.

La distance mutuelle des deux gros corps dépend alors d'un seul argument distinct (V., et la distance du petit corps aux deux gros dépend, comme ses coordonnées, de cpiatre arguments distincts.

Je voudrais faire voir que tr!, représente bien la longitude du périhélie de l'orbite de la grosse planète et que (v!, représente la longitude du n<rud ; et surtout que E;j s'annule avec l'excenti^icité de cette orhite, et E, avec son inclinaison.

Si nous égalons E, à zéro, le plan des Xt.v.y se confond avec le plan invariable qui n'est autre chose dans le cas actuel que le plan de l'orbite de la grosse planète.

Dans ces conditious, tous les termes dépendant de w^ disparaissent de tous les développements. Supposons maintenant de nouveau que a ne soit pas nid, c'est-à-dire que notre système soit rapporté à des axes tournants. Dans ce cas les coordonnées de la grosse planète dépendent de deux arguments distincts iv".^ et <\\j dont les moyens mouvements sont respectivement

dw"., div'..

di - . ' ^^

celles de la petite planète dépendent des cinq arguments tv", , tv'|,

t II I \v.,, ir^, u'.,.

Quand l'excentricité est nulle, les coordonnées de la grosse planète sont proportionnelles à cosa'^, sintv'!,, elles ne dépendent donc plus de «t'',, ce qui veut dire que £3 = 0. Si E., = 0, tous les termes dépendant de cc'j doivent disparaître de tous les développements.

Donc, si V excentricité de V orhite de la grosse planète est nulle, les coordonnées de In petite planète et ses distances aux

SVMÉTRIE Di:S DÉVELOPPliMIiNTS. SOLUTIONS PÉRIODIQUES. 333

deux antres corps pourront se développer suivant les sinus et les cosinus de

/.-, w'[ -h /oir'l -h pi »'', -\- p-i^v'.^

{fi et />; étant nuls) el Ton aura

/"l + /\-2 — pi — Pi^= o

pour les distances mutuelles, et pourX:t

/'l -^ A"o — pi — p-2= I ,

])our Xt cl pour x-,.

Si nous supposons de plus Eo^^o, tous les ternies dépendant (le iv', disparaîtront. Comme dans la troisième coordonnée X3, tous les termes sont d'ordre impair par rapport aux E d'indice iin|)air [cf. 11° 191), c'est-à-dire par rapport à Eo, tous ces termes s'annuleront et x^i sera constamment nul. La petite planète restera constamment dans le ])lan de l'orbite de la grosse planète. JNous retombons sur \e problème j-estreini.

Dans ce cas, les distances de la petite planète aux deux autres corps procèdent suivant les cosinus de

A*! w\ -h /i2 iv'!, -h Pi w\ ,

où

Pi = /'"l + ^"2-

Elles dépendent donc de deux arguments seulement

(V| -h iv i , tr.2 + (ï'i.

Rappelons (pie les mojens mouvements — y-^ sont finis, tandis

que les moyens mouvements —7— sont très petits de 1 ordre de u..

Dans le |)roblème restreint, on voit immédiatement cjue les moyens

mouvements

d( iv'[ -+- (l'i ) /,/( (X'I -+- (\'[ ) dt ' dt

sont tous les deux finis. C'est là l'une des raisons de la simplicité relative du problème restreint; c'est pour cela que ce problème jouit des propriétés simples démontrées au Chapitre \ II.

334 CHAPITRK XII.