Reprenons l'équation (21) et écrivons-la
d y^ dy d^ii dt Jmd dy./, dt d^k
en introduisant une fonction Çl définie par l'équation
dt ^ dt ^ dx
Cette fonction Q étant définie par sa dérivée partielle par rapport à t n'est définie qu'à une fonction arbitraire près des constantes a.
Notre équation nous donne, par intégration,
V^ dv dO.
^^ dy/,- a a/.
kk étant une fonction des constantes a indépendante du temps.
D'autre part, nous avons
2d ~dt ~ dt '
el comme
il viendra
(24) y r fl(>- = <Y<.>-hV A/,^/a/. — Frf/,
/^.ç A/t e7cr/z« indépendants du temps.
De là nous déduisons immédiatemenl
fl?AA d\,,
' ^ d%i, dti,
Comme Â.;^ et A^ sont des fonctions des a seulement ne dépendant pas de <, il en sera de même de leurs dérivées partielles, et, par conséquent, du crocliel [a/,, a^]. Nous retrouvons donc le théorème du n*" 14.
17. Nous pouvons choisir comme constantes d'intégration les valeurs initiales a:f, y] de Xi et jk/ pour t-=o. Dans ce cas, l'équation (24) prend une forme remarquablement simple.
Faisons ^ = o dans cette équation (24). Nous voyons que dt sera nul, que xi etjKt se réduisent à x] et y" ; d'autre part, Q se réduira à Qq; les Ayt, (jui sont des constantes indépendantes du temps, ne changeront pas. Il \iendra donc
ou, en retranchant de (24),
(25) ^xdj = diil — Ho)-^-'^^'^ dyO — F dt.
18. Dans le cas particulier des équations de Hamilton, on a (avec les notations du n° 7)
PRINCIPES DE LA DVNA.MIQUE. îl
U est Indépendant des jK et T est homogène du second degré par rapport aux y; on a donc
D'autre part, on a
d x^ v^ dv \^ dx v^ dV -^ d¥
di2,''-^=2é'''dï^2é-^di='2,'^dj.-Z''d^'
et, par conséquent.
dQ dl.jv p V ^F
~di ~ dt ^-^ dy
et, enfin,
^ ' dt dt
19. Dans le cas particulier du problème des trois corps, l'énergie potentielle U est homogène de degré — i par rapport aux x, et T, qui reste homogène de degré i par rapport aux y, ne dépend pas des X.
Le théorème des fonctions homogènes donne alors
^ dx ^ dx
d*où
•'^=Z^ydy=2^-^Ty-
Dans ce cas, il est aisé de former la fonction Q.\ on trouve, en
effet,
du ^ ^^ d¥
-r = F — 7 -^ "/- ' dt ^^ dx
d^xv ^^ dF v^ dF
^ dt ^ ~ir ''2d^ dy ~2d'^ dx d'où
diil^^xy) y dF y,g,p
dt Zd -^ dy Ad dx
Comme F est une constante en vertu de l'équation des forces
a-i CHAPITRE I. — PRINCIPES DE LA DYNAMIQUE.
vives, cette équation s'intègre immédiatement et l'on trouve
i> = 3F/ —'^■'Tj^ consl.
On peut d'ailleurs remplacer la constante par une fonction arblraire des constantes d'intégration.
Soit, maintenant,
Jmà dy. A^- d-L
on trouve
d'où
ou
on, enfin,
d} d 1^ dy , d^ll.rr di ~ diy^'^Th ) d'x dt
dl dm.i -T- v^^) M "" d^dt ■
dJ .^ ^F
dt d-x
En vertu de l'équation des forces vives, F est une constante; c'est donc une fonction des p./? constantes d'intégration a; et il en
est de même de sa déri\ée partielle -j- par rapport à une de ces
constantes.
Donc ^- est une constante.
U équation précédente nous apprend donc que J est une fonction linéaire du temps.
Ce résultat se rattache intimement à la théorie des invariants et, en particulier, de l'invariant relatif que j'ai étudié au n°2o0 du Tome III de mon Ouvrage sur les Méthodes nouvelles de la Mécanique céleste.
Je me bornerai à renvoyer le lecteur aux Chapitres XXII, XXIII et XXIV de cet Ouvrage et aussi aux pages 169 et suivantes du Tome I"'.
On verra également, dans ces Chapitres, comment la théorie des crochets de Lagrange se rattache à celle des invariants inléfiraux.
20. Notations. — Considérons trois corps A, B, G qui s'attirent conformément à la loi de Newton. J'adopterai les notations du n° 7, c'est-à-dire que je désignerai par
les trois coordonnées du corps A, par
celles du corps B, par
celles du corps C.
Quant aux masses, je désignerai celle du corps A indifféremment par
/?ll, ^9 OU /«3,
celle du corps B, par
celle du corps C, par
de sorte qu'on aura
Je poserai
m;, /?«3 OU in^,
m, = m-i = /«s, m- = ni^ = /«.j.
dxi
de sorte que les trois composantes de la quantité de mouvement seront, pour le corps .^ : ^i, y-i et j^» ; pour le corps B : y.,,, y^ etjKc; pour le corps C : jKt, jKs etjg. L'énergie cinétique totale sera alors
L'énergie potentielle sera
fUi/Hi m^m-; m>^m-, (^> ^=~ ^VB ÂG B^ '
à la condition que l'on ail clioisi les unités de telle sorte que la « constante de Gauss » soil égale à i ; nous pouvons le faire sans inconvénient, car il sera toujours aisé de rétal)lir l'homogénéité à la fin du calcul.
Dans l'expression de U, les dénominateurs A.B, AC, BC représentent les distances AB, AC, BC.
L'énergie totale sera
et nos équations canoniques s'écriront (d'après le n" 7)
dxi dV dvi d¥
dt dyi dt dxi
Nous désignerons d'ordinaire les trois axes de coordonnées sous les noms de axe des ^,, axe des x-i-, axe des x^.
!21. Intégrales diverses. — Le problème des trois corps, dont les équations sont les équations canoniques (2) du numéro précédent, admettent un certain nombre d'intégrales simples.
Nous avons d'abord \ intégrale des forces vives
F = const.
Observons ensuite que notre fonction U ne dépend que des distances mutuelles des trois corps A, B, C; elle est donc indépendante du choix des axes ; elle ne change pas quand on imprime au système des trois corps un mouvement commun de translation ou de rotation.
Imprimons donc à ce système une translation infiniment petite e
dans le sens de l'axe des x^. \lors
^ \ ) «^ 4. 5 Oui
se changeront en
et les antres x ne changeront pas.
L'accroissement de U devant être nul, on aura
Mais il convient ici d'introduire une notation qui nous sera très utile dans la suite.
Nous écrirons par exemple
c'est-à-dire que le signe ^ , qui peut se prononcer, somme de
trois en trois, a la signification suivante; il représente une somme de trois termes; le premier est celui qui est explicitement formulé, le second se déduit du premier en augmentant tous les indices de trois unités et le troisième en les augmentant de six unités.
Ou, si l'on aime mieux, le second terme sei'a formé avec les coordonnées du point B, et le troisième avec les coordonnées du point C, comme le premier avec les coordonnées correspondantes du point A.
Dans le cas où l'on envisagerait non plus trois corps, mais n corps, on pourrait évidemment employer la même notation, mais le
signe \^ représentera non plus une somme de trois termes, mais
une somme de n termes.
Quand, au contraire, nous emploierons le signe ^ sans l'indice 3, la sommation devra être étendue à toutes les v aleurs possibles des indices.
'J.Ct rHAPITIiK M.
Avec cette notation, l'équation (3) s'écrit
ou comme T ne dépend pas des j;
d'où d'où enfin
2^ yi= const.
Le premier membre de l'équation (4) peut s'écrire
rfxt d.r.. dx-,
c'est donc la projection sur l'axe des x^ de la quantité de mouvement du centre de gravité du système où la masse totale
/«) -+- /«4 -T- ni-
serait supposée concentrée.
On trouverait de même
{\ bis) \ ^2=consl.; j y .^
const.,
ce qui montre que les projections sur les trois axes de la quantité de mouvement du centre de gravité sont constantes. Le premier
membre de (4) est la dérivée de V nux^ ; en intégrant (4) et (4 bis) on verra donc que
^ /«i^i, > in-iXi, > in^x^
sont des fonctions linéaires du temps; c'est-à-dire que le mouvement du centre de gravité du système est rectiligne et uniforme. Nous ne restreindrons pas la généralité en supposant que le centre de gravité est fiixe. Nous savons en effet que les lois du mouvement restent les mêmes, que le système mobile soit rap-
porté à des axes fixes, ou qu'il soit rapporté à des axes animés d'une translation rectiligne et uniforme.
Si nous choisissons alors des axes mobiles, parallèles aux axes fixes, et ayant leur origine au centre de gravité; la translation de ces axes sera rectiligne et uniforme de sorte que la loi du mouvement ne sera pas altérée; pour un observateur lié à ces axes mobiles, le centre de gravité paraîtra d'ailleurs fixe.
22. Intégrales des aires. — huprimons maintenant au système des trois corps une rotation infiniment petite s autour de l'axe des .27,.
Les coordonnées ^i, x^, X7 ne changeront pas; tandis que x-i-i ^5, .^8 deviendront
et que ^3, jPc? -'"u deviendront
Xi-\- x-iz, x^-\- x^z, Xg-f-a^gS,
et comme U ne doit pas changer, nous aurons
dx^ dx^ ,
OU, puisque T ne dépend pas des x^
dx-i dx3
ou, à cause des équations (2)
'(r-2 ^ dj-
dt dt
ou
puisque l'on a identiquement
dx\ dx.^
y'-iîï-y'-dï^''-
On trouve donc en intégrant
(5) y (.r3j'.,--^.j3)= consl.
et l'on trouverait de même
(5 bis) ^ {x2 Xi — Xi^i) = consl. ^a'-^i J^s— -^sji) = const.
Les équations (5) et ( 5 bis) sont connues sous le nom dUntégrales des aires.
Il est évident que ce que nous venons de dire du mouvement du centre de gravité, ou des intégrales des aires s'ajjpliquerait sans aucun changement au cas où il y aurait plus de trois corps.
Considérons le vecteur dont les trois composantes sont
d'api'ès les équations (5) et (5 bis) ce \ecteur est constant en grandeur et direction. Il a reçu le nom de vecteur des aires; et le plan (jui lui est perpendiculaire s appelle ordinairement plan invariable.
Si l'on prend le |)Ian invariable pour plan des Xx X2, le vecteur des aires a pour composantes
o, o, 2 i^iyi — ^iji)'
23. Changement de variables. — Le problème des trois corps comporte neuf degrés de liberté, c'est-à-dire que nous avons dix-huit variables x et )'. On peut profiter de la propriété du centre de gravité pour réduire le nombre des degrés de liberté et par conséquent celui des variables indépendantes tout en conservant la forme canonique des équations. C'est là l'objet des changements de variables que nous allons étudier.
Je désignerai nos nouvelles variables par
•^i- y il I, 2, ..
Je supposerai d'abord que
sont des fonctions linéaires de
LE PROBLÈME DES TROTS CORPS. -ig
et de même que x'.^, x'., x^ sont des fonctions linéaires de x^, x^,
0C^% Cl tx/n^ fi? "-^(i ^ti t*-;ï^ "-^^O^ *^î)'
Je supposerai de plus que les relations linéaires qui lient x\, x\^ x. à x^^ X.',, x-j sont les mêmes que celles qui lient x.,, x-, x'g à ^2? ^"35 ^s et les mêmes encore que celles qui lient ;r '3, .r,.,
■^9 «i -^^s? -^ei ^9-
En d'autres termes, si l'on regarde les x' comme les coordonnées de trois corps fictifs, il j aura entre les coordonnées de ces corps fictifs et celles des trois corps réels des relations linéaires indépendantes du choix des axes.
De même pour les y. Je supposerai ({^^ y\, y,,, y- sont des fonctions linéaires de j^i , y.,,, y-;, que y',, y'., y'^ sont des fonctions linéaires de jo, y-,, y» eiy'.„y'„ r', de jks, Je, Ja-
Je supposerai que les relations linéaires qui lient j^', , 7^^ , j^'^ à JKnjK^jJKï sont les mêmes que celles qui lient y[,, y'., y'^ ky^^yà, jKs, ou bien encore y3,y6, /y à j;,, 76,^-9-
Je supposerai enfin que ces relations linéaires sont telles que l'on ait identiquement
^i.ri
Comme r'.,,T5, y'^ sont liés à j^o? jKs? JKs par les mêmes relations que y, y'j, y', ày,, j-^, j-y, on peut, dans l'identité (6), remplacer 7< > J'o Jt, y, , y, r'r par ^2,^5, Js, y^, y^, x, ce qui donne
De même, comme x'.,, x'^,x'^ sont liés à Xo, x-^, x» par les mêmes relations que x,, .r,^, x\ k Xt, x^^ x-, on aura
et de même :
et plus généi-alement
3o CHAPITRE II.
OÙ l'indice i peut prendre une quelcoïKjue des liois valeurs i , 2, 3, et où il en est de même de l'indice k. On aura donc en particulier
d'où
"y ( ^3 y'i — A r 3 ) = 'y ( -^3^2 — ^'2 JK3 ) . •^■■3 ^"3
et de méine
5] <-^l J3 — ^3.;'l) = y (^1^3— ^Sj'l) ■•"3 ^"3
Noire changement de variables n'altère donc pas la forme des intégrales des aires.
D'autre part, (in a :
■*""3 ■^■3 .«^3 .^^3 .^^3 .^da
OU en ajoutant
le signe \ sans inilice .> iiidicpianl. coinnie nous l'avons dit, une
sommation étendue à toutes les \aleurs de rindice /.
Mais si Ton se reporte au n" o, on \uil (pie 1 équation (7) signifie que le changement de variables est un changement canonique. 11 n'altère donc pas la forme canonique des équations (2) qui deviennent :
(8) d3^ d¥^ dy\ dF
dt ~ dy\* dt ~~ dx'i
2i. Élimination du centre de gravité. — Voici maintenant 1 usage que l'on peut faire de ce changement de variables. Je suppose que l'on ait choisi les relations linéaires qui lient les variables nouvelles aux anciennes de telle façon que l'on ait
LE PROBLÈME DES TROIS COUPS. 3l
et, d'autre part, que x\ et jc\ ne dépendent que des difîerences
Alors y. esta un facteur constant près la quantité de mouvement du centre de gravité; et, comme nous avons vu qu'on peut toujours supposer ce centre de gravité fixe, on aura
et de même
On devra donc avoir, par conséquent,
dt dx\
ce qui montre que F ne dépend pas de x'.. C'est, en etl'et, ce qui doit arriver si les relations linéaires entre les nouvelles et anciennes variables sont telles que x\ et x'.^ dépendent seulement des diflérences x^ — x-, et x-, — x-,.
Dans ce cas, en effet, ï, qui ne dépend que des y et pas des x^ ne peut dépendre que des j'' et pas des x' \ U, qui dépend seulement des différences^, — x-^, x^ — ^7, x-;, — Xg, x^ — x^, x-^ — ^9, x^ — .Tg, dépendra seulement des variables x\, x.,, x'.^, x\^ x'.., x'^, qui sont liées à ces différences par des relations linéaires, mais ne
dépendra pas de x'., x'g, x'^. Donc F = T + U ne dépendra pas de
X,, d7g, Xq.
D'ailleurs, il est aisé de voir que nos deux hypothèses ne sont pas indépendantes l'une de l'autre et que, sijK. est proportionnel à jKi +J'4 +J^7, les variables x, et j;',^ ne dépendent que des différences Xi — X-; etxi, — X-;. En effet, reprenons l'égalité (6) que j'écris, en la développant :
■2^1 ji -i-^kj^^ ^ly-i =-- -^'i /i -H ^'4 y^ -+- ^'7 y-, •
Donnant à ^,, X4, x^ des valeurs égales; le premier membre devient proportionnel à r,-f-r^+yY, c'est-à-dire à jk^ ; dans le second membre de notre identité, les coefficients de y\ et de jk-, doivent donc s'annuler; donc x\ et x\ s'annulent en même temps que les différences x, — x^ et ^4 — x^, ce qui démontre que x\ elx\ sont liés à ces différences par des relations linéaires.
Nous supposerons donc que y. soit proportionnel ày, +rA+y-
et que x\ et x',, ne déjDendent que des ditlérences x^ — .277 et Alors F ne dépend pas de .ri, x'^, J?'.,, et l'on a
On n'aura donc à s'inquiéter que des douze variables x\, x'.,, . . ., ^'(i'i y\-> y^i • • • 1 ya '■> ^^ ^*^ nombre des degrés de liberté sera réduit à six.
25. Élimination des nœuds. — Envisageons une première planète fictive dont les coordonnées soient x\, x'.^, x'.^ et dont la quantité de mouvement ait pour composantes j^',, j^^j? JK-r
Le plan de l'orbite instantanée de cette planète fictive, c'està-dire le plan qui passe par l'onglne, pai- la planète et par sa vitesse sera parallèle aux deux vecteurs qui ont pour coni|jOsantes x\, x'.^, a?',, et jK,, jKo 7 y;j- Il sera donc perpendiculaire au vecteur V, qui a pour composantes
•^'2 fi — ^'3 r'i : ^'i fi — ^\ fi - ^'i fi - -A r\ ■
En^isageons maintenant une seconde planète fictive, dont les coordonnées soientj^-'j,^';, Xg et dont la quantité de mouvement ait pour composantes j^'^, »',., y'^.
Le plan de l'orbite instantanée de cette planète fictive sera perpendiculaire au vecteur V, qui a pour composantes
D'autre part, le vecteur des aires qui a pour composantes
est perpendiculaire au plan invariable.
Mais les sommes que nous représentons par ^3 n'ont plus que deux termes; le troisième terme s'annule de lui-même puisque y,, y\ et y\^ sont nuls.
Chaque composante du vecteur des aires est donc la somme des composantes correspondantes de V et V. Le vecteur des aires est donc la somme géométrique des deux vecteurs V et V. Les trois vecteurs sont donc dans un même plan.
LE l'KOBLÈME UES TKOIS <;ORI>S. 3'j
Donc, les trois plans, qui sont respectivement perpendiculaires à ces trois vecteurs, c'est-à-dire les plans des deux orbites instantanées et le plan invariable, sont parallèles à une laème droite.
L'intersection des plans des deux orbites instantanées reste donc constamment parallèle au plan invariable.
C'est cette propriété qu'on a appelée assez improprement V élimination des nœuds; sans doute parce que l'on n'a pas à envisager séparément la longitude du nœud de la première orbite et la longitude du nœud de la seconde, si l'on rapporte les longitudes au plan invariable.
Cette propriété ne subsisterait plus si l'on prenait des planètes fictives définies autrement que par le changement de variables que nous étudions; si, par exemple, on prenait, comme on le fait d'ordinaire, des planètes fictives dont les coordonnées et les vitesses par rapport à des axes fixes seraient les mêmes que les coordonnées et les vitesses des planètes réelles par rapport à des axes invariablement liés au Soleil.
