L,= \V,-+-SL

À,- = IV, -i- OA,-,

'r,/= r, V -i- or..

Eu /i'*^""^ approximation, on prendrait

L, = — [J. / ~jr-dt,

en remplaçant dans —~- les inconnues par leurs valeurs de (/i — {y-''"''

approximation; L/ n'est pas entièrement déterminé, il ne l'est qu'à une constante près; pour achever de déterminer L, il faut se donner la valeur mojehne de L/. nous prendrons

(il) Val. mov. L, = W, — val. luov. ( 7 SL —, — ^ -f- 7 S: ^ — ^ )• ^ ^ . ' ' ' \ ^ <^n'/ ^ dwi I

Nous avons, en effet,

dr^ d or^ cCk/ d o/./ cD^/, d oX/ / ■ -^ / \

dwi diVi dwi d'.Vi dwi dwi < ^ ''

> al. niuv. \\ /

dw i

■. - ■ * d or. /

^al. mov. V.—r-^ = o.

Dans le second membre de (ii), nous pourrons remplacer les inconnues par leurs valeurs de [n — i)ieme approximation. Si, en effet, l'erreur commise sur SL par exemple est de l'ordre de a"~', Terreur commise sur le produit

,.. dùL oL

dwi

sera de l'ordre de ui", puisque oÀ et —, — ^ sont de l'ordre de u. » ' i i dwi »

L'équation Ui) permet donc d'achever le calcul de L/. Je

n'ajouterai rien au sujet du choix des constantes Ey^; je dii'ai

seulement que, si nous choisissons au lieu des E^des constantes E^.

:i36 CHAPITIIK \n.

délinies par les cqiialions

E',,= Er'-/A{'El E|. ..., E|„),

où 'i/A serait une fonction développable suivant les puissances des E^ et dépendant en outre des W d'une manière quelconque, ces nouvelles constantes E' jouiraient de la propriété la |)lus importante des constantes E, c'est-à-dire que les inconnues seraient développables suivant les puissances des

1^./,. cos (17,, b/^. sin tv,...

196. Calcul direct des séries. — Dans tout ce qui précède, nous nous sommes surtout efforcé d'établir le plus rapidement possiljle la forme des développemeuts ; aussi les formules précédentes ne sont-elles pas toujours les plus favorables aux calcvils numériques. Notre principal but dans le Volume suivant sera donc de les transformer pour les adapter aux applications numériques.

En attendant je vais indiquer succinctement un moyen d'obtenir directement les séries des Chapitres VII et X. Traitons d'abord le problème restreint et reprenons les équations (10) du n" l!26 que nous écrirons ici

^■'■^) -dT^-di:,' W^dU/' ^=Fo-I^Fi.

Nous avons \u an Chapitre VII que l'on peut satisfaire à ces équations à l'aide de développements procédant suivant les sinus et les cosinus des multiples de n arguments

"'1, «'2, ■•., "'//, en y faisant

Les ('(puilions (12) peu\ent alors être remplacées par les siii- \ ailles :

Posons

2à"''d^,~~ dXi

dlf dF^ dw/c dLi

"/,. = ■"/, + on/-,

SV-MÉTIUE DES DÉVELOPPEMENTS. SOLUTIONS PÉRIODIQUES. SSy

nos équations pouiTont s'écrire

fZL, ^ , f/L, dFi

et

Jmà. dwu ^^ (hvi- dL, d\ji

Considérons maintenant la valeur moyenne des différentes quantités considérées. Si U est une fonction périodique quelconque des (T', développable en série trigonométrique, sa valeur moyenne que nous désignerons par [U] sera le terme de cette série trigonométrique qui sera indépendant des (v.

Les L/ sont des fonctions périodiques des (v; on aura donc

Les A/ — Wi sont des fonctions périodiques des w] on aura donc

Si donc nous égalons les valeurs moyennes des deux membres dans (i4) et dans (i5), il viendra

et

L'équation (16) devra être satisfaite d'elle-même, et elle le sera en efiet, puisque nous savons d'avance que le développement est possible. Quant à l'équation (17), elle déterminera o/?/.

Voici alors comment de^ront être dirigées les approximations successives. Supposons que nous possédions des valeurs de (« — ■ ly''"»" apj)ro\iination

dont l'erreur soit de l'ordre de u."~' ; substituons-les dans le second membre de (i4); 1 erreur commise sur

dV \ dL,

sera de Tordre de |jl"-' ; d'autre part ùin et ^ sont de l'ordre de [^, puisque, pour u. = o, on a

n'i.= ni,, L,= const.

L'erreur eonimise sur

sera donc de Tordre de [j.".

Donc les équations (i4) nous fourniront pour les Lj des valeurs de /i'^™" approximation dont Terreur sera de Tordre de p.".

Prenons ensuite l'équation (17) et substituons dans les seconds membres, à la place des )./, leurs valeurs de (/? — i )'*'"" approximation et, à la place des L/, leurs valeurs de /i'''""' approximation. Comme F» ne dépend que des L/, Terreur commise sur

sera de Tordre de \x" ; Terreur commise sur F, sera de Tordre de [jl"~' et par conséquent Terreur commise sur

sera de l'ordre de pi". L'équation (17) nous fournira donc de nouvelles valeurs de ont dont Terreur sera de Tordre de \x".

Dans le second membre de (i5), substituons à la place des 5/?^ et des L; leurs valeurs de n"^"^^ approximation et à la place des \i leurs valeurs de [n — ly^n^c approximation.

L'erreur ^ur - i-^ sera de l'ordre de [jl",

rfF,

lx"-\

' c/L, dh

dw/, d'/.i dwi; ' '

car o/i/f est de l'ordre de u..

SV.MKTRIE DES DÉVEI-OPPEMENTS. SOLUTIONS PKRIODIQUES. 339

L'équation (i5) nous donnera donc pour )>, de nouvelles valeurs dont l'erreur sera de l'ordre de u.".

Et ainsi de suite,

197. Passons au cas général du j)roblème des n-{- i corps, Novus avons vu au Chapitre X que nos inconnues peuvent s'exprimer en fonctions périodiques des 3/i arguments

w} — n\ t + TO/, »•; = — y', t -f- m'i.

Soit encore

Ort/

Je pourrai alors écrire les équations sous la forme suivante :

(uS;

(l'j) (•io)