IL

7 iih = — 7 o/i/,. 7 -f- 7 v. r ^-

dlf '

dFi

dL,

Égalons comme plus haut les valeurs moyennes des deux membres de (21), il viendra

[dF,l f-f/F,]

D'autre part le double du coefficient de siiKï^)^ dans le développement d'une fonction périodique U quelconque sera [sin(r);.U] et il est clair que, si U est périodique, on aura

Si donc nous égalons les coefficients de sin^'l dans les deux

membres de (19) il viendra

= 'rJ-

sin «r

On substituera dans les seconds membres de (18) et (20) les

3îo CIIUMTJIE XII. — SYMIÎTRIE DES DÉVELOPPEMENTS. SOLUTIONS PERIODIQUES.

valeurs de {n — i)'''""' approximation où l'erreur est de l'ordre de u."~' ; l'erreur commise sur L^- sera alors de l'ordre de p.",

puisque o/?A, rî-, -^^ ^4 sont de l'ordre de ;j.(car W, — L, est de

Tordre de a).

L'équation (aS) nous tlonnera y^, et comme le coefficient

sur lequel Terreur commise est d'ailleurs de Tordre de |j." ' ne s'annule pas avec [jl, tandis que le second membre contient lo. en facteur, Terreur commise sur y^. sera de Tordre de jj.".

Dans le second membre de (22) substituons à la place des L/ leurs valeurs de (n — i)''''"" approximation, et celles de /i"''"'' approximation, à la place des autres inconnues, Terreur commise sur o/ii sera de l'ordre de [j.".

Dans les seconds membres de (19) et (20), substituons à la ]dace des on et des y' leurs valeurs de /i'^""*" approximation et à la place des inconnues celles de (n — i)'*"", Terreur commise sur ç/ et -fii sera de l'ordre de ji.".

Enfin, dans le second membre de (21), substituons à la place des on, y', L leurs valeurs de /i""™^ approximation et à la place des autres inconnues celles de (/? — 1 )"'"'', l'erreur commise sur Aj sera de Tordre de ^".

Telle est la façon de diriger les approximations successives.

PRINCIPE DE LA MCTHODE DE DELVUNAY.

198. Théorème sur la classe. — Au n° 101, nous avons classé à divers points de vue les différents termes qui s'introduisent dans l'application de la méthode de Lagrange et dont la forme générale

est

[J.3' A D\l 0 1'" cos ( V « + h ).

Supposons que les moyens mouvements étant presque commensurables, les intégrations puissent introduire ce que nous avons appelé un petit diviseuî\ Soit m' l'exposant de ce petit diviseur au dénominateur.

Nous disons alors que le terme considéré est de classe

.ïe me propose de démontrer qu'«7 n^y a pas de ternie de classe négative, c'est-à-dire que le nombre

est toujours positif ou nul; et que, dans le développement des oL/, oç<. or,,, il est toujours au moins égal à -•

Pour cela je reprends les équations (9) du n" 106 :

Je suppose que le théorème ait été établi pour les valeurs de

(n — i)''""' approximation et je dis qu'il sera encore vrai pour les valeurs de n'''""' approximation des oL/, oÀ/, Bç/, ôy,/, valeurs que Ton obtient en substituant aux inconnues dans les seconds membres des équations (i) leurs valeurs de {n — i)''"''" approximalion.

D'après le n" 100, les dérivées partielles de F, qui figurent dans les seconds membres des équations (i) seront de la forme

BDK'

où B est, à un facteur numérique près, l'une des dérivées partielles d'ordre supérieur de F,, dérivée dans laquelle il convient de substituer aux inconnues L^-, X/, ^/, r,/ leurs valeurs de première approximation

T n „ / i ■) *1 ï" -^f jj/ , tii < -t- A, , ç/ , r^i .

(^uant à DVC, c'est un monôme entier par rapport à

oL/, oA/, fjr,-, rj-r,,-,

OÙ Ion doit substituer, à la place de ces quantités, leurs valeurs de {n — i)'*""^ approximation.

Je dis qu'après cette substitution, ^BOIl' ne contiendra non

plus que des termes où

En effet, par hypothèse, tous les termes des valeurs de (/? — ly'^»"^^ approximation de oL,, o)./, oç,, ot,, sont tous de classe positive ou nulle. U en est de même de B; car pour tous les termes de B, qui sont obtenus sans intégration et ne contiennent pas a en facteur, ou a

Le prodiiii de doux leiiiies de classe positive ou nulle est évidemment aussi de classe positive ou nulle. Donc il en sera de même de tous les termes de

y BDIL'.

Envisageons les trois premières équations (i); elles nous

PRINCIPE Dli LA MÉTHODE DE DELAUNAY. 3^3

apprennent que oL^-, o;,. or,/ sont de la forme

î OVl ' dt.

L'intégration pourra introduire un facteur i, ou un peli! diNiscur au dénominateur; mais elle ne pourra pas introduire 1 un et I autre ; elle n'introduira en elTet le facteur /. que s'il s'agit d'un terme séculaire pur; elle n'introduira le petit diviseur Vq, que s'il s'agit d'un terme contenant en facteur cos(vo^H- /i). Donc, ou bien in-\-m' ne changera pas, ou bien ui-\-tn' augmentera dune unité. Après l'intégration, on multiplie par pi, de sorte que a augmente (l'une imité. On aura donc après cette double opération

Le théorème est donc vrai en ce qui concerne les valeurs de //.""" approximation de oL, o;, oi^. La classe de tous les termes de oL,

oç, or, est au moins égale à -•

Passons à la dernière équation (i) qui nous donne oÀ/; dans le second membre figurent trois intégrales. La première de ces intéorales est de la forme

V>dW dt.

Tous les termes de > BDIl' satisfont à la condition

La double intégration peut augmenter m -i- m' de deux unités. On multiplie ensuite par a, ce qui augmente a d'une unité. On a

donc finalement

m m' ce — o.

Tous les termes de cette intégrale sont donc de classe positive ou nulle. En ce qui concerne la seconde intégrale

J dï7,

df.

nous remarquons que l'on a encore

où B est, à un facteur numérique près, une dérivée partielle de Fo où les L/ ont été remplacées par leurs valeurs de première approximation L^, et où Oit' est un monôme du second degré au moins par rapport aux oL/, lesquelles doivent être remplacées par leurs valeurs de (/i — lyeme approximation. Or ces valeurs ne contiennent par hypothèse que des termes satisfaisant à la condition

Le produit de deux de ces termes sera donc au moins de classe i, et il en sera de même a fortiori du produit de plus de deux termes; il en sera donc ainsi de tous les termes de OÏL'; quant à B,

c'est une simple constante. Donc tous les termes de N^BOlt' sont au moins de classe i , c'est-à-dire tels que

Après l'intégration, m -h m' pourra augmenter d'une unité, mais

on aura encore

m ni' ^ I

Passons à la troisième intégrale; elle est de la forme

IX fS^BDÏL'dt,

c est-à-dire de même forme que les seconds membres des trois premières équations (i); tous ses termes satisfont donc à la condition

nt m' , I

Donc tous les termes de oXi sont de classe positive ou nulle.