Comment formera-t-on l'équation qui nous donnera tou
PRINClPh: DE LA MÉTHODE DE DKLAUNAV. 345
les termes de classe nulle du deNcloppeuient des oA^ et tous les termes de classe - du développement des oL/, oH/, or,? Soit Vq le petit diviseur en\isagé: ou aura donc
les iij seront les moyens mouvements et les kj seront des entiers choisis de telle sorte que Vq soit très petit.
Je dis d'abord que tous les termes de classe - du dé\ eloppement
des ûL. oc. OYj seront de la forme
(•2) A[JL«^'"cos(Pvof -f-A),
p étant un entier, et qu'il en est de même de tous les termes de classe o du développement des oh.
En eflet, supposons que cela soit vrai en [n — i)ii'"l' approximation, je dis C|ue cela sera encore vrai en /i"'""^ approximation. Pour cela nous nous servirons des trois premières équations (i) qui peuvent s'écrire, ainsi que nous l'avons vu au numéro précédent,
(3) oL, oi, îr, = a / y V,d\V dt.
Il faut dans les seconds membres remplacer les inconnues par leurs valeurs de (/? — ]')''^'me approximation. Considérons un terme
quelconque de ^ Boil.'; que faut-il pour qu'il nous donne un terme de classe - de oL, o; ou ùTi'! i" Il faut d'abord qu'il soit de classe zéro; 2" Il faut ensuite que sa classe diminue de - par 1 intégration pour augmenter ensuite de i quand on multiplie par ix.
Comme tous les termes de B sont de classe zéro, il faut que le terme envisagé de ^\\.' soit de classe zéro; or, comme les termes de classe zéro sont [ en (/i — i)*^'"'' approximation] tous de la forme (2), il est clair que ce terme envisagé de Oft' devra être de cette forme.
Soit donc B, le terme envisagé de B, d\i\ le terme envisagé de on', et
le terme correspondant de oL, 0^ ou or,.
3/(6 CHAPITRK XIII.
D'après ce que nous venons de voir, Oit', est de la forme (2), c'est-à-dire que Ton a
OlL'i = A [JL«/'" cos( pvo t-^ h) ( p entier).
Soit
BiOlL'i = C [x'-J-t"' cos(:jf -t- A'),
si V n'est pas nul, l'intégration introduira le diviseur v; pour que la classe diminue de -j il faut que v soit un multiple de Vo, c'està-dire que l'on ait
V = yvo (y entier);
si V est nul, l'intégration introduira un nouveau facteur t et la
classe diminuera de -•
Si donc nous voulons ([uc la classe diminue de - par l'intégration, il faut que nous ayons
vêtant un entier positif, négatif ou nul. Alors B, sera de la forme
(4) Bi=:Kcos(ovo< + A"),
k et A" sont des constantes et 0 est un entier éaal à 3 ±: v. Nous n'aurons d'ailleurs dans B, ni facteur iji, ni facteur t; en eflet B est une des dérivées de F, où l'on remplace les L, H, '/\ par des constantes, les )./ par Uit-^X^-. Il ne peut donc ainsi s'introduire ni facteur ^, ni facteur u. Nous pou\ons écrire
OÙ II dépend des L, des ç et des y,, et où les /?y sont des entiers. Soit DF, une dérivée partielle d'ordre quelconque de F,, multipliée par un facteur numérique. Il est clair que le développement de DF, sera de même forme que celui de F, et, si un terme de F, contient en facteur l'une des lignes trigonométriques de l'angle
^PAj^ le terme correspondant de DF, contiendra également
en facteur l'une des lignes trigonométriques du même angle
5j Pj'^^J' ^^ aura donc
où H' est (de même que H) une fonction des L, des ; et des y,.
Pour avoir B, il faut remplacer dans DF, les inconnues L/, ;/, '^/, Xi par L", ç", ■/(", iiit-h^^-] on trouve ainsi
où H|, est ce que devient H' pour L,= L^^ li= l^, r,i= r^^- (H|, est donc une constante); de plus on a
.Pj'iJ^
h" = ^Pj^-
Les seuls termes de B que nous ayons à considérer (parce qu'ils sont les seuls qui puissent nous donner dans SL, o^, ôTj des termes
de classe - ) sont ceux qui sont de la forme Bi dans l'équation (4),
c'est-à-dire ceux où v ^ ovo, o étant entier. Nous devrons donc avoir
V = 2] Pj «y = ^^'^0 = '^ 2 ^'^ "^' "' d'où
0 étant un entier.
Ainsi nos entiers pj doivent être des équimultiples des entiers kj qui correspondent au petit diviseur Vq.
Donc on n'a à envisager dans F, que les termes où figure un
argument ^SpjXj qui soit multiple de l'argument ^^kj\j qui
correspond au petit diviseur.
Je désignerai cet argument par une lettre spéciale en posant
Si donc nous envisageons la fonction F,, ceux de ses termes qui contiennent un facteur Irigonométrique dont l'argument n'est pas
348 CIIAPlTtlli XIII.
multiple de 0 devront êlrc rejetés, car ils ne peuvent jouer aucum rôle dans le calcul des termes de classe - de oL, o;, or,.
On ne devra conserver que les termes indépendants des )., c'eslà-dire ceux qui ne contiennent aucun facteur trigonométrique (c'est l'ensemble de ces termes que nous avons appelé Pv. aux Chapitres VIII et IX) et en outre ceux qui contiennenl un facteur trigonométrique dont l'argument est multi|)lc de 0.
Nous désignerons par W l'ensemijle des termes conservés.
D'autre part le terme B,01i', nous donnera dans le second membre des équations (3) un terme
dont l'argument sera ovo^ + A" et dans cet argument le coefficienl de t sera ovo et par conséquent multiple de Vq.
Le théorème énoncé est donc vrai en /V"^'^ approximation pour
OJL, OÇ, 07,.
Passons à SX, qui nous est donné j)ar la dernière équation (i).- Dans le second membre de cette équation, je substitue les valeursde [n — ])"'"« approximation; j'aurai ainsi les valeurs de n''""^ approximation de oX et je me propose de montrer que les termes de classe zéro de cette valeur dépendent encore d'un argumenl multiple de Vq^.
D'après le numéro précédent les deux dernières intégrales du second membre de cette dernière équation (i) ne peuvent nous-
donner que des termes de classe -• Il nous suffira rlonc de consi-
dérer la première intégrale et d'écrire
(5) ^h=iJ.yc,, f' dt f'§^df,
qui est encore de la forme
Ici encore, pour obtenir un terme de classe zéro de ÔA/, il faut partir d'un terme de classe ^e/-o de Boii'; il faut ensuite que ia.
i';iiNca'K i)i; la méthode de delaunav. Jig
-classe soit diminuée de i par la double intégration pour augmenter .ensuite de i par la multiplication par [jl.
Or, pour que la classe diminue de i par la double intégration, lil faut que le terme envisagé ait un argument multiple de v^,^.
Donc les termes de classe z-éro de SA/ en «"^'"'^ approximation ont •encore un argument multiple de VqI.
