L'équation (5) peut s'écrire

D'autre part, nous avons vu que, dans le calcul des termes de -classe - de oÀ, o;, or,, on peut remplacer la fonction F, par la fonction W de sorte que les trois premières équations (i) deviennent

rtd'où

dhj drj.i __ dW ~cU '~ ~dF ~ "" '"^ 'dïi '

d'i^i do'çi dW

dt dt ' dr^i

dr^i d Zr^i dW

"dt ^ ~dr ^ '■' "^ '

dl,- drA,-

~~i — — "i "^ — ; — dt dt

«/-^-^ C,7, oL/.,

Ce n'est pas tout. Quand on veut obtenir un terme de classe -

-dans oL, S;, ov], il faut, comme nous l'avons vu au numéro précédent, partir d'un terme de classe zéro dans OVJ.

Or Dit' est un monôme entier par rapport aux oÀ, oL, o;, or,. Pour obtenir un terme de DTc', on prendra un terme dans chacun des facteurs de ce monôme et l'on fera le produit. La classe du ;produit sera la somme des classes de tous les termes que l'on aur.i -ainsi multipliés l'un par l'autre.

Pour obtenir un terme de classe zéro de OU', il ne faut donc

JJO CHAPITRE XIII.

prendre dans chacun des facteurs que des termes de classe zéro. Or ûL, ôç et 071 ne contiennent pas de termes de classe zéro, mais

(les termes de classe - au moins. Pour obtenir les termes de classe

zéi'O de OFl', il suffira donc de faire

OL. =. ry^ ^ ryr^ = o

et de réduire les 8X à leurs termes de classe zéro. Soit donc

ce que deviennent

quand on j fait c'est-à-dire

iF — -- i^ dX/ d^çi' dr^/

oIj = 0; = or, = o,

On aura évidemment

dW\ fAFo

Nous venons de voir que, dans le calcul des termes de classe -

de oL, oç, 07,, nous pouvons dans les seconds membres des équations (3) faire oL = o^ := 07) = o.

Nos équations deviennent alors

Posons maintenant

Co représente une constante quelconque, le premier signe "V se

rapporte à tous les indices i, le second à tous les indices f et|Â-,^en distinguant C^ et Ga,-. On a alors

d<\ dl

PRINCIPE UK LA MÉTHODE DE DELAUNAV. 35l

et par conséquent

dt dhi

Gomme <3^o ne dépend que des L, et que ^o ne dépend que des A (puisqu'on y a fait Li=i L^", \iz= ^9, yi,-:=-/|9)j l'équation (;) et la première équation (6) prennent la forme canonique

,8) ^L,- ^ d{^^,^ iJ.^',) ^ dlj ^ (/(4>o-,uWo)

dt dki ' dt dLi

201. Les équations (6) et (-) nous donnent tous les termes de

classe - des L, ç, '/] et tous les termes de classe zéro des 8)., et

rfles nen donnent pas d'autres. Cela tient à ce que nous avons pris soin de supprimer dans nos équations tout ce qui aurait été susceptible de donner des termes de classe plus élevée.

Si nous n'avions pas pris ce soin nous aurions pu arriver également à d'autres systèmes d'équations analogues, par exemple, au suivant

r/(Fo+,aïï-')

d(Fo-iJ.W)

dt ~

dr.

diF^^lxW)

^(Fo-t- !JiT)

dt ~

En intégrant les équations (g) nous trouverions encore tous les

termes de classe - de L, ç, /,, tous les termes de classe zéro de SX;

mais nous en trouverions encore d\iutres.

Pour passer des équations (9) aux équations (6) et ('y) que faut-il faire? Il faut remplacer Fq par $0; en outre, dans deux des équations (9) il faut remplacer W par ^^0 et danis les deux autres

dW dW /dW\ /dW\ ,-. . p

— TTj -5— par —jr- ] > i -^ ] • On voit que 1 on a

d'^ dt\ i \dl ] ^ \ dr^ /„ i

Fo = *o -t- * ;

en remplaçant Fo par $0, nous supprimons donc les termes qui dépendent de $, c'est-à-dire la seconde intégrale du second membre de la dernière équation (i); intégrale qui, nous l'avons vu, ne peut nous donner que des termes de classe supérieure à zéro.

yjX CllAPlTUH XIII.

dW dW /dW\ /d^V ,

De même remplacer W par ^1%, ou -^,-, — par [^j^, (^-^j^

dans les équalions (9), cela revient à faire oL = 0; = or, = o dans les termes provenant des dérivées de W. Or nous avons vu que les termes provenant de ces dérivées et dépendant de oL, oH, 07,, ne

peuvent nous conduire cpi'à des termes de classe supérieure à--