Dans le cas du problème des n corps, nous avons
les M/ étant des constantes qui ne dépendent que des masses. On a alors
Il vient donc
Dans le cas du problème restreint (c/n" 123) nous avons trouvé pour F[,, qui joue le rôle de Fo,
ou, en supprimant les accents devenus inutiles et remplaçant p', par Lo, c'est-à-dire en reprenant les notations du n" 126,
Fo = i-i +«-2(L2— L,);
d'où
Cii= — p , ' C12 = C21 = C22 = o.
Il viendra donc
î-^(GL?2 8L,Lî-i-3Lr)+/ï,(L,-Li).
Telle est la forme de la fonction <I>o tlans les deux cas que nous avons à examiner.
203. Principe de la méthode de Delaunay. — Les équations (6) et (7) peuvent s'intégrer facilement. Remarquons en etï'el que <ï>o ne dépend que des L,- (c'est d'ailleurs un polynôme du second degré par rapport aux L/); au contraire W^ ne dépend que de
e = Vx,).,.
En effet, nous avons obtenu W en supprimant dans F, tous les termes dont l'argument 2^Pp^J i^'était pas multiple de h. Donc W est fonction seulement de
et il en est de même des dérivées
dW d^
Nous avons obtenu ensuite
en remplaçant dans
.,, dW dW
dtj drj
les inconnues L,, ç,, yi/ par les constantes L", ç", r,". Donc
dW\ , dW
/o' \drii
/dW\ . dW
ne sont plus fonctions que de 8.
Examinons maintenant les équations canoniques (8). Nous voyons que l'on a
d(<Po^ l^^o) / d(<Po+ I^^o) ,
" y\ — '^i TE — '^i !-^
dW,
d\i "' ^6 ""■^ db d'où
I f/L, i dU I dLn dW
/('i dt A-, dt " ' An dt ^ afO
Cela nous apprend déjà que
~ki kj
est une constante; je pourrai mettre le résultat sous une forme plus symétrique en introduisant une variable auxiliaire U et en écrivant
(lo) L,-A7U = L?,
L,? étant une constante; je puis, en effet, définir la variable auxiliaire U de telle façon que sa valeur initiale soit nulle.
Nous avons ensuite l'intégrale des forces vives relative aux équations canoniques (8); elle s'écrit
(rij *o-^ M-^"o= consl.
Dans $0 nous devrons iem|)lacer les L/ par leurs valeurs tirées de (lo) de sorte que $0 deviendra un poljnome du second degré en U; comme W^ ne dépend que de 9, l'équation (1 i) nous donnera une relation entre U et 8. Nous avons ensuite
du d\}
r/e , , qui nous donne une relation entre -^ et U, et par conséquent une
relation entre -7- et y.
dt
Quelle est la forme de cette relation? Soit
<i>o = A + 2BLM-GU2,
A, B et C sont des constantes. Soit A + H la constante du second membre de (i 1), il vient
d'où D'autre part
d'où
et enfin
CU2^2BU = H - [JL^o;
eu -f- B = v/B2+HG— [jlC^^o
«fô d^.
^^ ='2s/B2+HG — [jiG^Fo
rfe
J 2v/B2Hr-HG — [JlGVFo
Comme le radical ne dépend que de 9, nous avons la relation entre
PRINCIPK DE r,\ MÉTFIODE DE DEI.AUNAY. 355
6 et t par une simple quadrature. Nous aurons donc 9, U et L, en fonction de t. Nous avons d'autre part
dt ~ ^ ^- '
le second membre est une fonction des L, et par conséquent de U, c'est donc une fonction connue de /, de sorte que nous aurons \ par une simple quadrature. On peut même remarquer que le second membre est un polynôme du premier degré en U, de sorte que nous aurons entre les À/ des relations linéaires. Nous aurons enfin
dt --^[d^J.; -dt=^(di;);
Comme les seconds membres sont des fonctions de 0 seulement, ce seront des fonctions connues du temps t, de sorte que nous aurons les ^i et les r,, par de simples quadratures.
20i. Tel est le principe de la méthode de Delaunay; on voit qu'elle nous permet de calculer très simplement la somme des
termes de classe minimum, c'est-à-dire des termes de classe -
pour L, ç, r,, de classe zéro pour 1. On voit en outre que cette méthode consiste essentiellement à supprimer dans F, les termes de courte période, c'est-à-dire ceux qui dépendent d'un argument
^Pih, où les entiers pi ne sont pas des équimultiples des A/, et à
n'j conserver que les termes de longue période, ou les plus importants de ces termes.
Il est aisé de comprendre l'importance de ces termes de classe minimum. 11 arrive quelquefois que le rapport des moyens mouvements est presque commensurable; c'est ce qui arrive par exemple pour Jupiter et Saturne, planètes pour lesquelles ce rapport est voisin de |; c'est ce qui arrive pour certaines petites planètes dont le moyen mouvement est presque le double, ou à peu près une fois et demie celui de Jupiter; la plus importante de ces planètes est Hécube.
Les termes de classe minimum ont alors de grands coefficients à cause des petits diviseurs introduits par l'intégration. La période
de ces termes est longue, et souvent de plusieurs siècles. La période des termes, dépendant des arguments tv', par exemple celle des termes calculés au Chapitre VIII, est beaucoup plus longue encore et se compte par centaines de siècles.
Que devons-nous conclure? Si l'on veut prévoir à courte échéance, c'est surtout au terme A'' ordre inférieur qu'il faut attacher de l'importance; si l'on veut prévoir à échéance assez longue, il faut calculer tous les termes de classe inférieure : c'est ce que nous venons d'apprendre à faire dans le numéro précédent. Si enfin on veut prévoir à très longue échéance, il faut calculer les termes de rang inférieur, ainsi que nous l'avons fait aux Chapitres VIII et IX.
20o. La méthode de Delaunay peut d'ailleurs s'appliquer dans des cas beaucoup plus généraux. Soient des équations canoniques
rflU £/F dli d¥
dt <r/) , dt dlji
où F est une fonction des L et des À, qui ne dépend des A que par la combinaison
^f^Aj-
Je la suppose d'ailleurs périodique par rapport aux A. En d'autres termes, la fonction F est développable suivant les cosinus et les sinus des multiples de 9, et les coefficients de ce développement ne dépendent que des L. On trouve encore
U étant une variable auxiliaire et L" une constante. On a l'intégrale des forces vives
F = const.
qui nous donne une relation entre U et 8. On trouve ensuite
dt ~ 2d JdL/ d'où
fl'F
^''^ dLj
PRINCIPE DK LA MÉTHODE DE DELAUNAV. 357
Comme la quantité sous le signe / ne dépend que de H et de U,
et que U est lié à 9 par l'équation des forces vives, cette quantité
sous le signe / est une fonction connue de B, de sorte que l'on
obtient t par une simple quadrature.
Donc G, U et par conséquent les L/ peuvent être regardés comme des fonctions connues de t. Dans les équations
dlj dF ~dî ~ ^7Û
le second membre qui ne dépend que des L et de B sera aussi une fonction connue de /, de sorte que nous aurons )./ par une simple quadrature; et l'intégration est achevée.
206. Application à Hécube. — Le meilleur exemple d'application de la méthode de Delaunaj que nous puissions choisir est celui de la planète Hécube. Cette petite planète, dont le moyen mouvement est sensiblement le double de celui de Jupiter, a été l'objet de travaux nombreux parmi lesquels nous citerons la thèse de M. Simonin.
Je choisirai les unités de telle façon que la longitude moyenne de Jupiter soit égale à t\ et j'appellerai R une fonction égale à la masse du Soleil divisée par la distance du Soleil à Hécube, plus la masse de Jupiter divisée par la distance de Jupiter à Hécube, moins le demi-carré de la vitesse d'Hécube.
Je désigne par L la racine carrée du grand axe de l'orbite d'Hécube, et je pose
G=L/i -e-, © — Gcosf,
e et i étant l'excentricité et rinclinaison de cette orbite.
Je désigne par /, g et B l'anomalie moyenne, la distance du périhélie au nœud et la longitude du nœud. Dans ces conditions, les équations sont canoniques et s'écrivent.
1 dL \ dt -
dR
dV
dG dR
dt " dg'
d€) dR
dt ~ d(i'
\ dt
dR dL'
dg dR dt ~ dG'
d^ dR dt ~ de
La fonction R dépend des six variables L, G, 0, /, i,-, G et de t. Ces équations prennent une autre forme si, par une analyse toute pareille à celle du n" 123, on pose
el, si l'on prend pour variable 0 — / au lieu de ^, elles deviennent alors
^.^^ ) «^' «^^' dt ~ ~d^' dt ^ d(H- (/
\ 'Il ^^ ^__rfF d[i) — t) d¥
\ dt dL ' dt ~ dG' TTt ~~ de'
Dans ces conditions, F est regardé couiine fonction des six variables L, G, 8, /, -, f) t, et de (. Mais nous devons observer que, si l'excentricité de Jupiter était nulle. F ne dépcudrail plus de t, mais seulement des six premières variables.
Nous allons maintenant changer de \ariables. Suj)posons que
le rapport des moyens mouvements soil très voisin de ^i— -i ,
n n étant un entier qui pour Hécube sera égal à i. Nous poserons
1 = — nf — n^' (,/__,)( f) — j' ), U = L + nS + /iT, S = L — G, T = G — e.
On constate aisément (pic Ton a identiquement
L/-^G^ + e(e — o= ux-f- S54-Tt
et par conséquent
Ldl + Gds'-i-ed(0-t}=Vdl-i-Sds-~T dz,
ce qui prouve qu'avec les nouvelles ^ariables les équations resteront canoniques et s'écriront
i^^d^ dS dF dT dF
(3) ) ^^ ^^^' dt " ds' li^ 'd^'
\ '!]l ^ d¥ ds ^dF dx dF
dt «?U' dt~ dS' di^-df'
Voyons quelle est la signification de ces nouvelles variables. D'abord À r.'présente la différence des longitudes moyennes.
PRINCIPE DE LA MÉTHODE DE DELAUNAY. SSg
D'autre pari,
ds (il , 1 dg f/0 \ d-. ds dg
dt dt ' \ dt dt / dt dt dt
ry dg f/6 , . dl , . . , n + 1
