Premier exemple. — JNous pouvons prendre, par exemple
CV I — ce 1 — 30 'j . ce t. — ce ^ ^^^ 7 5 Ou 'j '• — Ou'j
y\=^y\^ y\=y'^^ y'i^yi-^y^^yi-
On vérifie aisément :
1° Que la relation (6) est satisfaite ;
oi" Que y, est égal à j, + jj + y^ ;
3" Que ,27', et x'j ne dépendent que des différences J7, — ^7 et
Ce changement de variables jouira donc des propriétés énoncées ; il n'altérera pas la forme canonique des équations ; il n'altérera pas la forme des intégrales des aires; les variables jc\^ 57'^, x'^ ne figureront pas dans les équations et les variables jk^, jKg 5^9 seront constamment nulles, de sorte que le nombre des degrés de liberté sera égal à 6.
Quant à nos deux planètes fictives, il est aisé d'en trouver la signification. La première aura pour coordonnées celles du point A dans son mouvement relatif par rapport au point C; mais elle P. - I. 3
54 CHAPITRK 11.
aura même quantité de mouvement que le point A dans son mouvement absolu. De même pour la seconde planète fictive.
27. Planètes fictives. — T^'inconvénient de la solution précédente est aisé à apercevoir, bien qu'il ne faille pas s'en exaj^érer l'importance. Les quantités
ne sont pas proportionnelles aux dérivées
dx\ dx\ dx'.^ ~~dt' ~di' ~dt'
Considérons la j^-emière planète ficlixe; à rinslani / nous lui attribuons certaines coordonnées./"',, .r',, a?'., el une certaine quantité de mouvement j^',,|'',, y'., ; à l'iustaul / -f- n^/ nous lui allrihuous pour coordonnées ./■', -h ^x',, .r., -j- (^/j^., , x.^-i- djr'.^. Mais la vitesse qu'elle devrait avoir |H)iir passer dans le teuq)s df de la preuiière position à la seconde n'est pas celle (pion déduirait de la quantité de mouvement que nous lui avons attribuée.
On comprendra mieux la poi'tée de cette objection au Cliapitre l^^ quand je pai'leriii de la dc'linition des oibites osculatrices. En tout cas, il est aisé de lionvci inic aiiti-e solutiou (pii soil exempte de cet inconvénient.
Pour cela, il faut que l'on ail
, dx, X. = m, -^ ,
les m- étant des coefficients constants tels que
Nous conservons, d'ailleurs, toutes nos autres hypothèses.
Alors ni\ = /«'., = m'^ représente la masse de la première planète fictive et m'^^ m'^= m'^ représente celle de la seconde jilanète fictive; eiy\,y^, y'^, par exemple (ou/,, /., /J, représentent bien comme il convient les trois composantes de leur quantité de mouvement.
Nous pourrons également regarder
y -Il y»i y<i
comme la masse, les coordonnées et les composantes de la quantité de mouvement d'un troisième corps fictif".
Comme nous avons conservé toutes nos autres hypothèses et en particulier celle qui est exprimée par l'identité (6), nous aurons
, , dx\ '^ dx
"^1^1 -TjT- ^ 7. '"l'^i
dt ^./"'■^' dt
\t • . dx\ dx'. dx'- dx, dx^ dx-, ,
Mais nous avons entre -77-, -^-^, —r^ et -,}-, -j- , -,- les mêmes
dt dt dt dt dt dt
relations linéaires qu'entre x\^ x',^^ x'. et jc,, x,,, x-,. Je puis donc, dans l'identité précédente, remplacer les dérivées -~ par les quantités x'j^ elles-mêmes; j'obtiens ainsi
(9) ^^ni\{x\)^=^,m{x,y\
D'autre part, comme par hypothèse j'ai entre x'.,^ ^r'g, x'^ et x^., ^5, x^ les mêmes relations linéaires qu'entre x\^ x',^^ x. et .r,, Xi,, X;, je puis écrire également
{<^ bis) 2, m\x\x'^= 2, fiiiXxXy
et de même
^. /n\x\x'.^ = ^ /niXiX-i; \ m\ x'^x'.^ = ^ niiXoX.i.
D'autre part, comme nous avons entre x\^ x\, x'^ et Xi^ ^4, x-, les mêmes relations linéaires qu'entre leurs déinvées, nous aurons
dx\ \ - y^ l dx\ \ 2
, / dx\ \ - -v^ / dxa
et de même
en ajoutant ces trois égalités on truuve
36 CHAPITRK 11.
OÙ celte fois il faut donner à l'indice / toutes les valeurs possibles. Cette équation exprime que la force vive des trois corps fictifs est égale à la force vive des tro,s corps réels. On a donc
dx'V- I
■1 ^ \ dt J 1 ^ m
Ainsi Texpression de l'énergie cinétique T en fonction des m' et des dérivées des x' ^ ou encore en fonction des m' et des y\ est la même qu'en fonction des m et des dérivées des ic, ou encore qu'en fonction des m et des y.
128. Ces relations (9), {i)bis)el {()ter) sont susceptibles d'une interprétation géométrique très simple.
Soit Z un axe quelconque passant |»ar rcirigine, I* et P' deux plans rectangidaires passant par l'axe Z; soient a, ^, y les cosinus directeurs (bi j)lan P; soient a', ^', v' ceux thi plan P'.
La distance du point A (preiuier corps réel) au plan P sera
■xxi -t- ^:r2-i- '(Xi.
sa distance au plan P' sera
a'ar,-)- 'p'xz-+- y'jts;
le carré de sa distance à l'axe Z sera
(aa:,-i- &a?,H- '(X^Y-^- {x Xy-^ fix^-^- '['xs)^,
et le moment d'inertie du système des trois corps réels par rapport | à l'axe Z sera
J =2. fn\[{axi^ ^Xi-i-yx3)^^{a'xi-^ P'a^z + v'^s)'].
De même le moment d'inertie du système des trois corps fictifs par rapport à l'axe Z sera
J' = 2 m\[(%x\ -+■ ^x'^-^'ix'3')-^(cc'x\ ■+- i^'x'^ -^'('^'3)'^]-
En développant les carrés entre parenthèses, on verrait que J est un polynôme du second degré en a, p, ^; a', jii', Y '1 et qu'il en est de même de J'.
Le coefficient de a-, égal à celui de a'^, est égal à
dans J et à
dans J'; le coefficient de 2a|i, égal à celui de 2 a' [3', est égal à
dans J et à
niiXiCCi
dans J'.
En résumé, chaque coefficient du polynôme J est égal au second membre de l'une des égalités (9), (9 bis), (9 te?-) et le coefficient correspondant du polynôme J' est égal au premier membre de cette même égalité. Les deux polynômes J et J' sont donc identiques.
Donc, le moment cV inertie des trois corps fictifs par rapport à un axe quelconque passant par l'origine est égal à celui des trois corps réels.
29. Il s'agit donc de déterminer les relations linéaires qui lient x\, x\, x. à ^,, .^4, x-i, de façon à satisfaire à la condition (9).
Le problème comporte évidemment une infinité de solutions ; voici celle qui est la plus simple et la plus communément adoptée.
Fig. I.
Prenons O V égal et parallèle à CA. Nous avons deux masses m, et m 7 placées respectivement en A et en C; je représente en D le centre de gravité de ces deux masses. Je dis que nous pourrons remplacer ces deux masses par une masse m'. = m^ + m- placée
au point D et pai' une niasse m\ j)lacée au point V et telle que
m\ in\ ni^
En effet, si je désigne par x\ , x'.^, jc'., les coordonnées du point \\ par x\^ j?g, x'g celles du point D, il est manifeste tpie x\, x'.^, x'.,, de même que j^'^, x\, x',^^ seront des fondions linéaires des coordonnées des points A et C; et, d'autre pari, (jue nous auronsentre x\, Xi et X; la même relation linéaire (jirentre .r.,, x.^ et x^ ou qu'entre J"!,, ^'s et .r,, cl (|m' nous aurons entre x'., .r, et x-, la même relation linéaire quCiilrc J7„, x., et .r» ou tpi'entre .r',,, x-^
Nous avons, en cllcl,
x\ = .r, — X-, x\ = Xi— x^, a?3 = .r, — Xg, m'7 x'.^ = nix Xx -+- /«T ^"7, m', x'^ = nix x-, -+■ rn-xtf,, m', x'^ = mj x-^ -t- m: T9.
Il reste à montrer (pie nous avdus hicii la rclalinn (9), ou que (10) m\ ./■',- -H ni'-^x'-^ = /«i J'f -i- in-x:,
ce qui re\ienl au même. mr. coiiimc noii-^ n'jivons |)as louclié an corps B, nous ,\\ oiis
Or la relation (10) peut s écrire
/ , „ ( m. ri -f- «170:7)2
m, (a^i — 377)2 -H - — i ; = niixl -+- m-,x^.
En identifiant les deux membres, je trouve
/H-, , m lin- , m]
' m- m, ni-
Ces trois relations me donnent respectivement
m- /»- 'il-
nix m-, m 1 = — 5
tn'i m-, ( ni- — ni-; ) nix "^i m , = /n-, — — r = — —
Elles jne conduisent donc à la même valeur de ni\ et l'on a d'ailleurs
I /n'.^ in\ -\- ni-i i i
m\ niirn-j niim-i nii m-i
La relation (lo) est donc établie.
30. Nous venons de voir que nous pouvons remplacer deu.v masses mj et ni-i situées en A. et en G, par deux masses
nii nini\ -H m-. m.
iHi -+- ni-,
situées en D, centre de gravité de A et de G, et en A'.
Nous aurons donc remplacé nos trois masses réelles
//II, /tif,, i/isituées en
par trois masses fictives
in\ , ni'^ , /ni-+- tn-j situées en
Appliquons une seconde fois la même transformation et opérons sur les deux masses B et D comme nous avions opéré sur les deux masses A et G.
Menons donc OB' égal et parallèle à D^ et plaçons au point B' une masse fictive /«', telle que
II I Wi-i- m4+ m-,
m',^ m,^ //Il -h m- nii^inix-^ m-)
Gonsidérons, d'autre part, le centre de gravité G des deux masses B et D; ce sera également le centre de gravite des trois masses réelles A, B, G, et plaçons en G une masse fictive
m^ = Dif^^r- {//ii^ ///-) = /rii-T- m^-h
Nous aurons ainsi remplacé les deux masses B et D par deux masses
nouvelles B' et G.
En résumé, nous avons successivement remplacé les trois masses
réelles
mi, /«i, /^l^ en A, B, G,
4o CIIAPITKK II.
par les trois masses fi(;lives
ni\. m,,, mi-\- m^ en A', B, D,
puis par les trois masses fictives
//?',, /n\, ni\ en A', B', G.
Nous avons ainsi dt'lini un rhangemenl de variables (pii jouit de toutes les propriétés énoncées dans les numéros précédents.
Comme le centre de gravité est supposé fixe, le troisième corps fictif qui est en G doit être regardé comme fixe.
On n'a donc à s'inquiéter que du mouvement des deux planètes fictives A' et B', de sorte que le nombre des degrés de liberté est réduit à ().
Les équations du inuiixcinent conservent l;i loiiiie canonique; les intégrales des aiics conservent égalemenl leur fdrme.
L'expression de l'énergie cinétique T en fonction des masses et des vitesses fictives e>l \.\ iik'iiic qu'en lonelioii des masses cl des vitesses réelles.
Au eouliiiiie, dans l'expression de l'énergie potentielle U, il faut conserver les masses réelles et liiiis dislances réelles. Mais nous devons observer que V ne (h'pend que des difl'érences j?, — j?7, Xif — x-i, etc.; donc 11 ne (b'-pend (pie des coordonnées x\. ..., des deux premiers corps fictifs A' et B', et ne dépend pas des coordonnées i\u troisième corps fictif G (que nous supposerons d'ailleurs nulles).
31. On peut exprimer le résultat auquel nous venons de parvenir en disant que la première j)lanète V est rapjiortée à des axes mobiles passant par le corps central C, ou j)lus simplement au corps C, et que la seconde planète B est rapportée au point D, centre de gravité de \ et de C.
Ce résultat peut évidemment se généraliser; soit un corps central C el n planètes P), P^, ..., ?« ; on rapportera P, à C; P2 au centre de gravité de P, et de C; P3 au centre de gravité de P), de P2 et de C; et ainsi de suite. Le procédé s'applique donc à un nombre quelconque de corps.
Il est clair qu'au lieu de rapporter A à C et B au centre de gravité de A et de C, nous aurions pu au contraire rapporter B à C et A axi centre de gravité de B et de C.
Dans ce qui va suivre, sauf a\ is contraire, nous supposerons toujours qu'on a adopté le changement de variables du n° 30 et non celui du n" 26. Nous poserons souvent
'}i\n>i ni!t{mi-^ m-i)
bÎ3-â^) + "'^'"^(b^-Fc)'
ou
U = U,-f- U2-HU,.
32. Cas où l'une des masses est nulle. — il y a des cas où l'une des masses est assez petite pour que les effets en puissent être entièrement négligés. C'est ce qui arrive, par exemple, quand on étudie les perturbations d'une petite planète par Jupiter. Le mouvement de la petite planète est troublé par Jupiter, mais celui de Jupiter n'est pas troublé par la petite planète.
C'est ce qui arrive encore dans la théorie de la Lune. La masse de la Lune est assez petite pour qu'on puisse admettre que le mouvement relatif du Soleil par rapport au centre de gravité Terre-Lune n'est pas altéré par l'attraction de la Lune.
Supposons donc que la masse ui^, par exemple, puisse être regardée comme un infiniment petit du premier ordre. Nous aurons alors, à des infiniment petits près du deuxième ordre,
Donc in',^ sera un infiniment petit du premier ordre et il en sera de même de r, , r'., y',, et par conséquent de "^j "^j -A-' Nous
5 Ji
pourrons poser
T = Ti + T,,
de sorte que T, et To représentent respectivement l'énergie cinétique de la première et de la seconde planète fictive et de même
U = U,+ U2-+-U3, Ui = -^^, U2 + lJ3 = --^^B B^-
à'i ClIAl'lTRK II.
Nous voyons que T, et To sont finis, tandis que U, et U2+ U.i sont du premier ordre; nous serons donc amenés à poser
F = <ï>o+ «îv*r. *o='ri-+-Ui; /?ii*i = To-i- U2-4- U3. Nos équations canoniques peuvent s'écrire
dcp'i d^o dt», dy'i d^^ rf*i
' dt dy'i ' d/i ' dt dx) ' dx)
lN)iir la première |)laiiète (irtive, c'est-à-dire pour /= 1 , 2, ou >, nous voyons que --j-, est nul, puisque To ne dépend que de j^', ,
y-,-, y a', et (pie ni; -7-7- est 1res petit, tandis (pie -r-r et -y-^ sont
finis; nous pouvons donc négliger les ternies en <1>, et nos équations s'écrivent
dxj^ ^ d^o dy'i 'M\
dt dy'i ' dt ~ dx'i
Gomme 4>o ne dépend que de^',, x'.,^ -^-p JKp JK-.? J'-p uoiis a\ons lin système complet d'équations canoniques (12) à trois degrés de liberté; ce système définil le niouNciiiciii de la première planète fictive ou, ce tpii revient au même, le iiioiixcinciil relatif de la planète A par rapport au Soleil G. Ge mouvement est donc le même que si la masse m, n'existait pas ; c'est donc un mouvement elliptique képlérien.
Etudions maintenant le iii(»ii\eiMeiil de la seconde planète fictive, c'est-à-dire le mouvement relatif de la planète B par rapport au centre de gravité du système des deux corps A et G. Pour cela, reprenons les équations (1 i) et donnons à l'indice i les valeurs 4, 5, 6. Gomme $0 ne dépend pas de x',, x'j, jc'g, ^',, y'^, y,,, ces équations se réduiront à
, „. dx'i û^*i dy'i r/*i
^'^^ -dï=""^7yi' dï—'^^d^i'
Gomme le mouvement de la première planète fictive peut être regardé comme connu, les quantités x\^ x'.,, ^r',, y\^ y'„, y'., seront des fonctions connues du temps. Nous pourrons donc les remplacer dans $, et dans ses dérivées par leurs valeurs en fonction du temps.
LE PROBLÈMK DES TROIS COUPS. ^'i
iNous aurons donc, pour définir le mouvement de la seconde |)lanète fictive, un système (i3) d'équations canoniques à trois degrés de liberté. Mais la fonction caractéristicjue <î>, dépendra non seulement des inconnues x',^, X-, x'^ ; y'.^, y'-^, y'g, mais encore du temps. Nous serons donc dans Je cas dvi n" 12.
Nous pouvons écrire les équations (i3) de manière à mieux mettre en évidence l'ordre de grandeur des différents termes. Posons, en eliet,
ou, ce cjui revient au même, puisque m'.^ = m'. ^ m'g et que l'on peut supposer m'.^ = ni; à des infiniment petits près du deuxième ordre ainsi que nous l'avons montré plus haut,
Les y" seront finis, puisque les y' sont du premier ordre; et il viendra
^1 .^KJ'. -^Jo ^y& ) ^3 cb'
et nos équations (i3) s'écriront
dx'i oJ<î>i dy} <:/*!
'''^^ ~dt "dfi' ~di~~'d^i'
Ici les inconnues x' et y" sont finies et tous les termes de <I>, se présentent sous l'orme finie; la masse m, ne figure plus nulle part dans les équations.
33. Dans ce qui précède, nous avons rapporté la petite planète B au centre de gravité de .\ et de C, et la grosse planète A au soleil C. Nous aurions tout aussi bien pu faire le contraire et rapporter la petite plaiiète au Soleil, et la grosse planète au centre de gravité du Soleil et de la petite planète. Nous n'avons pour cela, tout en conservant nos relations, qu'à supposer que c'est la masse m^ du corps A qui est infiniment petite.
La petite planète A est alors rapportée au Soleil C et la grosse planète B au centre de gravité D de A et de C; mais, comme la masse de A est nulle, ce centre de gravité D coïncide avec C, de sorte que la grosse planète est également rapportée au Soleil.
44 CHAPITRK II.
On aura alors, aux infiniment petits j3rès du premier ordre,
, m^Amy-^ m-) in:,nim . = = '
et aux infiniment petits près du second ordre.
ni, -+- m-
Nous conserverons à T, et à To, à U,, Uo et U» la même signification que dans le numéro précédent.
Ici, To et Ua sont finis, T, et U, + U3 sont du premier ordre; nous poserons donc
F = *o^/n,<ï>,,. <ï>o = T,-(-U2, m,'^,= T,-4- Ui-hUs.
et nous retrouverons les éijualions (11), à celle difiérence près que m.., y sera remplacé par «î,.
Si nous étudions d'abord le mouvement de la grosse planète, nous pourrons négliger <I>, et nous retrouverons le système d'équations canoniques (12), ce qui montre que le mouvement de cette planète est képlérien.
Si nous voulons étudier \v mouvement de la petite planète, il nous faut, dans les équations (11), donner à l'indice / les valeurs 1, 2, 3; les dérivées correspondantes de <ï>o élanl nulles, nous retrouverons les équations canoniques
Posons alors, comme au numéro précédent,
yi='niy'i=miyi (1 = 1, 2,3), il viendra
2 " ' ' ' " " ' nii '
et nous retomberons sur les équations (i4)-
34. Nous avons vu au n" 12 que, quand la fonction F dépend explicitement du temps, l'intégrale des forces vives cesse d'exister. Dans les équations (i4) des n°' 32 et 33. la fonction caractéris-
tique 4>, dépend non seulenienL des inconnues x' et y\ mais encore du temps; Tintégrale des forces vives <ï>, = const. n'a donc pas lieu.
Il en est de même des intégrales des aires. Que deviennent donc l'intégrale des forces vives et celle des aires, qui sont vraies dans le cas général, lorsque Ton fait tendre l'une des masses vers zéro ? Elles ne cessent pas d'avoir lieu, mais, à la limite, ce sont des relations entre les coordonnées et les composantes de la vitesse de la grosse planète, où les coordonnées et la vitesse de la petite planète ne figurent pas. Elles deviennent donc illusoires, en ce qui concerne l'étude du mouvement de cette petite planète.
En revanche, ainsi que nous l'avons vu au n" 12, nous pouvons faire subir aux équations (i4) des changements canoniques de variables sans en altérer la forme canonique.
33. Problème restreint. — Dans la suite, nous serons fréquemment conduits à étudier de plus près un cas particulier simple. Je suppose que, l'une des niasses étant nulle, le mouvement relatif de la grosse planète par rapport au Soleil soit un mouvement képlérien; je suppose, de plus, que, l'excentricité de cette elKpse képlérienne étant nulle, l'orbite de cette grosse planète soit circulaire. Alors la grosse planète et le Soleil décriront des circonférences concentriques autour de leur centre de gravité commun et ces deux circonférences seront dans un même plan.
Je suppose enfin que, la position et la vitesse initiale de la petite planète étant également dans ce même plan, cette petite planète reste constamment dans ce plan.
C'est là ce que l'on appelle le problème restreint. On peut le traiter soit par le procédé du n" 32, soit par celui du n" 33. Dans les deux cas, la grosse planète sera rapportée au Soled, mais la petite planète pourra être rapportée, soit au Soleil, soit au centre de gravité de la grosse planète et du Soleil.
Nous avons vu au n" 3i que, pour une petite planète, les intégrales des forces vives et des ânes deviennent généralement dlusoires. Mais, dans le cas particulier du problème restreint, il y a une combinaison de ces intégrales qui subsiste et nous fournit une intégrale du système (i4) connue sous le nom à' intégrale de Jacobi; c'est ce que nous verrons plus loin.
