CHAPITRE X

corde de contact des deux tangentes | point de concours des tangentes en dont il est l'intersection, et l'on a ses deux points d'intersection, et l'on démontré que cette corde passe par i a démontré que ce point de concours le pôle U de u. est sur la polaire u de U.

Enfin, tout point de «, situé sulla courbe, a pour polaire sa propre tangente (106), qui passe par U.

Enfin, tout rayon deU, tangent à la courbe, a pour pôle son propre point de contact (106), qui est situé sur la droite u.

109. Soient P un point quelconque d'une droite u, p sa polaire, Q le point d'intersection de u et de p et q la polaire de Q. Les droites p et q passent (108) par le pôle U de u. Les points P, Q, U sont les sommets d'un triangle et les droites p^ q, u sont les côtés du même triangle respectivement opposés à ces sommets. Ce triangle, dans lequel chaque sommet est le pôle du côté opposé, prend le nom de triangle polaire de la courbe du second ordre.

Les triangles polaires donnent lieu à la double proposition suivante (105) :

Dans tout quadra ngle complet inscrit à une courbe du second ordre, les trois couples de cotés opposés se coupent aux sommets d'un triangle polaire de la courbe.

Dans tout quadrilatère complet circonscrit à une courbe du second ordre, les trois couples de sommets opposés sont situés sur les cotés d'un triangle polaire de la courbe.

110. A chaque triangle polaire PQU correspondent une infinité de quadrangles inscrits à la courbe, et dont les couples de côtés opposés se coupent aux points P, Q, U. Menons par le point P une sécante qui rencontre la courbe aux points B et G. Joignons ces points au point U et prolongeons les droites BU, CU jusqu'à ce qu'elles rencontrent une seconde fois la courbe, respectivement en D et A. On voit aisément que ABCD est l'un des quadrangles en nombre infini dont nous venons de parler.

Cela posé, si l'on maintient fixes le point U et les sommets A, C du quadranglc inscrit, et si l'on déplace le point P surla polaire u de U, le sommet Bse déplacera sur la courbe. Les droites PB, QB décriront par conséquent, autour des centres C, A, deux faisceaux projectifs de rayons ; les points P, Q décriront en môme temps

ÉLÉMENTS CONJUGUÉS. IOQ

deux ponctuelles projectives, sections de ces faisceaux. Donc :

Si un point P décrit une ponctuelle u, sa polaire p décrit en même temps un faisceau de rayons U, projectif à la ponctuelle.