IV. — Éléments conjugués

1U. Une droite étant coordonnée, comme polaire, à chaque point du plan, par rapport à une courbe du second on Ire, on est conduit à introduire les nouvelles dénominations ci-après :

. Deux points du plan sont dits con-\\ Deux droites du plan sont dites •fjugués ou réciproques (*) par rap- jj conjuguées ou réciproques par rapj port à la courbe du second ordre,/ port à la courbe du second ordre,

quand l'un d'eux est situé sur la quand l'une d'elles passe par le pôle

polaire de l'autre. j de l'autre.

D'où il suit que :

Si deux points sont réciproques, leurs polaires sont aussi réciproques, et vice versa.

Un point est donc réciproque à chaque point de sa polaire et une droite à toute droite passant par son pôle. jPUn point situé sur la courbe du second ordre est réciproque à lui-même, puisqu'il est en même temps situé sursa polaire^^^jg ytegente.

Une tangente à la courbe est réciproque à elle-même, puisqu'elle passe par son pôle, le point de contact.

Quand la droite qui joint deux points réciproques par rapport à la courbe du second ordre rencontre la courbe, un de ces points est toujours situé dans la région interne, l'autre dans la région externe .

112. Si la droite a, qui joint deux ' Si le point A, où se coupent deux points réciproque s, rencontre la courbe droites réciproques, est extérieur h la

(') La dénomination de points conjugués se trouve dans O. Hesse {De Curvis et Su-tO.: perfieiebus secundi ordinis. — Journal fur die reine und angewandte Mathematik, von \ A.-L. Crelle ; t. XX, A. iSjjo); celle de points réciproques est due à Ponceeet {Traité des propriétés projectives des figures. Paris, ;22, a° 82).

du second ordre, ces points sont ! courbe du second ordre, ces droites harmoniquement séparés par les sont harmoniquenient séparées par points d'intersection de la courbe et les tangentes, à la courbe, issues du de la dioite a. point À.

En effet, la polaire de l'un des | En effet, le pôle de l'une des droites

points passe par l'autre et contient est situé sur l'autre et par ce pôle

tous les points qui sont harmonique- j passent tous les rayons qui sont har-

ment séparés du premier par deux [ moniquement séparés de la première

points de la courbe. I par les tangentes à la courbe.

113. Il résulte, en outre, de la définition des points et des droites réciproques, que :

Si deux points A et B sont réci- \ Si deux droites a et b sont réciproques à un troisième C, la droite proques à une troisième c, le point ab AB est la polaire de C. j est le pôle de la droite c.

Cette polaire doit en effet passer i Ce pôle doit, en effet, se trouver par A et par B. ! sur a et sur b.

114. Soient maintenant a et v deux droites du plan, non réciproques. Si à chaque point P de u on assigne comme correspondant le point P, de v qui lui est réciproque, les ponctuelles u et v sont rapportées projectivement l'une à l'autre.

La ponctuelle v est en effet une section du faisceau U de rayons, formé de toutes les polaires des points de u (108) et projectif à la ponctuelle « (110). Les droites qui joignent deux points réciproques quelconques, P et P)( des droites u et v, forment donc un faisceau de rayons du premier ou du second ordre, selon que le point d'intersection uv est ou n'est pas réciproque à lui-même, c'est-à-dire selon que av est ou n'est pas situé sur la courbe du second ordre.

Le point P, réciproque aux points P, et U, a pour polaire la droite I^U, et PPj est réciproque à P< U (111). Nous obtenons donc aussi le faisceau de rayons du premier ou du second ordre en faisant passer par chaque point P, de v le rayon qui est réciproque à la droite P, U.

Soient, d'autre part, U et V deux points du plan non réciproques. Si à chaque rayon p de U on assigne comme correspon-