ÉLÉMENTS CONJUGUÉS

dant le rayon p, de V qui lui est réciproque, les faisceaux U et V sont rapportés projectivement.

En effet, U est une projection de la ponctuelle v, qui contient les pôles de tous les rayons deV (108) et qui estprojectivé au faisceau V de rayons (HO). Les faisceaux U et V se coupent donc suivant une ponctuelle ou suivant une courbe du second ordre, selon que le rayon commun UV est ou n'est pas réciproque à lui-même.

Le rayon pi} réciproque aux rayons p et v, a pour pôle le point pv, et le point pp{ est réciproque au point pv (111). Nous obtenons donc aussi la ponctuelle ou la courbe du second ordre en déterminant sur chaque rayon p de U le point réciproque au point pv.

Nous sommes ainsi conduits aux propositions suivantes :

l ne droite v et un point U, non situé sur v, étant donnés dans le plan d'une courbe du second ordre :

Si l'on detenni ne sur chaque rayon \ Si l'on fait passer par chaque point de U le point réciproque au point de v le rayon réciproque à la droite d'intersection de ce rayon et de la \ qui joint ce point au point U, ou a droite v, on a une suite de points une suite de raj ons enveloppant une situés sur une courbe du second ordre courbe du second ordre qui est touqui passe parle pôle Y de la droite v, ; citée parla polaire u du point U, par le point U et par les points de par la droite v et par les tangentes à contact des deux tangentes menées du la courbe donnée eu ses deux points point U à la courbe donnée. ' d'intersection avec la droite v.

Dans le cas seulement où v passe ' Dans le cas seulement où U se par un de ces points de contact et trouve sur une de ces tangentes et où, où, par conséquent, la droite UV est par conséquent, le point uv appartangente a la courbe donnée, on ob- tient à la courbe donnée, on obtient tient une ponctuelle au lieu d'une un faisceau de rayons du premier courbe du second ordre. ordre au lieu d'un système de tan-

j gentes à une courbe du second ordre.

La courbe du second ordre don- \ La courbe du second ordre donnée et le point U restant fixes, à tout née et la droite v restant fixes, à point du plan correspond un point tout rayon du plan correspond un réciproque, situé avec le premier sur rayon réciproque qui coupe le preun rayon de U; à toute droite corres- mier en un point de v; à tout faispond, en général, une courbe du se- ceau de rayons du premier ordre cond ordre. j correspond, en général, un faisceau

de rayons du second ordre.

Ilo. Quand trois points sont ré- Quand trois droites sont reciproci pruques dcu.r <i deux, il y en a ques deux à deux, il y en a toujours toujours un dans la région interne deux qui rencontrent la courbe et une de la courbe et deux dans la région qui ne la rencontre pas. externe.

En ce qui concerne la proposition à gauche, si l'on ne considère que deux des trois points, l'un des deux est toujours en dehors de la courbe (111). Sa polaire rencontre donc la courbe. Les deux autres points réciproques se trouvent sur cette polaire ; l'un de ces deux points est donc situé dans la région interne de la courbe.

116. Les deux propositions suivantes résultent de ce qui vient d'être démonté :

Si un triangle AMBj {fig. 34) ! Si un triangle UVW [fig. 35) est est inscrit à une courbe du second ; circonscrit à une courbe du second

Fig. 34.

Fig. 35.

ordre, toute droite réciproque a l'un ordre, tout point réciproque à l'un des

des côtés, ABl5 coupe les deux autres côtés en deux points réciproques.

sommets, W, est projeté des deux autres sommets par deux ra\ ons réciproques.

Et

'vice versa

Toute droite coupée par deux côtés I Tout point projeté de deux sommet s du triangle en deux points récipro- t du triangle par deux rayons réciproques passe par le pôle du troisième \ ques est situé sur la polaire du t roicôté, sième sommet.

ELEMENTS CONJUGUES.

Les ponctuelles AM ou u, B,M ou useront project i s es, si l'on assigne comme correspondant à chaque point de u son réciproque sur v. Le point M de la courbe, commun à u et à v, étant d'ailleurs réciproque à lui-même (111), les deux ponctuelles engendreront un faisceau de rayons du premier ordre ( 114). Le centre S de ce faisceau de rayons doit se trouver sur la tangente en A, puisque le point d'intersection A, de cette tangente (polaire de V) avec v est réciproque au point A. Le centre S est de même sur la tangente en B,. Donc S est le pôle de AB, et toute droite passant par S, c'est-à-dire toute droite réciproque au côté ABj, coupe u et v en deux points réciproques.

On démontrerait de la même manière la proposition à droite, dont l'exactitude résulte d'ailleurs de la loi de réciprocité.