Si une courbe du second ordre est couper par deux

raj ons réciproques, AG et BD {fig. 3b"), les points d'intersection

A, B, C, D sont quatre points har-

i / Fig. 36.

moniques et les tangentes a, b, c,

d en ces points sont quatre tan- \\

gentes harmoniques à la courbe du

second ordre.

Le pôle Q de AG, où se coupent les tangentes a et c, doit se trouver sur la droite BD , puisque cette droite est réciproque à AG. De même le pôleRdeBD, où se coupent les tangentes b et d, est sur AC.

Appelons Pie point d'intersection de AC et de BD ; P, B, Q, D sont quatre points harmoniques et RP, b, HQ, d quatre rayons harmoniques. Les rayons CA, CB, c, CD sont donc aussi harmoniques, et il en est de même des points ca, cb, C, cd. Les points A, B, C, D sont donc projetés de C, et par conséquent de tout poinl de la courbe, au moyen de quatre rayons harmoniques, et les tangentes a, b, c, d sont coupées par c, ou par toute autre tangente, en quatre points harmoniques.

V. — Plan polaire par rapport à la surface conique du second ordre.

118. Toutes les propositions qui viennent d'être établies poulies courbes du second ordre peuvent être étendues aux surfaces coniques du second ordre : ces surfaces sont en effet coupées, par un plan qui ne contient pas leur centre, suivant une courbe du second ordre.

Nous nous bornerons à indiquer ici les propositions suivantes :

Etant donnés, dans une gerbe, une surface conique du second ordre et un rayon s non situé sur la surface, si l'on coupe celle-ci par autant de plans que l'on voudra, passant tous par le rayon s, et si l'on détermine :

i° Dans chaque plan, la droite qui est harmoniquement séparée de s par la surface conique ;

2° La droite commune aux deux plans qui touchent la surface suivant ses droites d'intersection avec le plan sécant coiisidêrè;

3° Dans tout tétraèdre inscrit à la surface conique, et dont les plans diagonaux sont deux quelconques des plans menés par s, les droites d'intersection des faces opposées;

4° Les droites de contact des deux plans qu'on peut mener par s tangentiellement à la surface conique,

Toutes ces droites sont situées dans un plan S, qui passe par le centre de la gerbe et qu'on appelle le plan polaire du rayon s par rapport à la surface conique considérée.

DIAMETRES ET CENTRES.

APPENDICE AUX CHAPITRES IX ET X

DIAMÈTRES ET CENTRES DES COURBES DU SECOND ORDRE. CAS PARTICULIER DES THÉORÈMES GÉNÉRAUX (1).