PROPRIÉTÉS INHÉRENTES A LA GÉNÉRATION DES SURFACES, ETC

l'inlersection uv ; donc : toute droite menée dans le plan par le point uv est tangente enee point à la surface, ce qui revient à dire que :

Tout plan contenant une droite u de l un des systèmes et une droite v de l'autre est tangent à la surface au point uv.

149. Le nombre des plans tangents qu'on peut mener à la surface par une transversale est égal au nombre des points de rencontre de la transversale avec la surface.

En effet, chacun de ces plans tangents contenant une génératrice de l'un des systèmes (et une de l'autre), la transversale aura un point commun avec la génératrice considérée. Mais deux points de cette sorte ne peuvent pas coïncider, car deux génératrices du même système ne sont jamais situées dans un môme plan; donc, si plus de deux plans tangents se coupaient sur la transversale, cette droite aurait plus de deux points communs avec la surface et serait par conséquent tout entière dans la surface (148).

VI. — Propriétés inhérentes à la génération des surfaces doublement rectilignes.

150. Un s) stèrne de droites est coupé par tout plan 2, qui ne contient aucun rayon, suivant une courbe du second ordre.

Tous les plans qui touchent la surface rectiligne aux points d'une telle courbe forme ut un faisceau de plans du second ordre.

Un système de droites est projeté de tout point S, qui n'est situe sur aucun rayon, suivant un faisceau de jeans du second ordre.

Tous les po: uts où la surface rectiligne est touchée par les plans d'un tel faisceau sont situés sur une courbe du second ordre.

La surface doublement rectiligne étant considérée comme engendrée par deux faisceaux projectifs de plans, si l'on coupe ces plans par un plan transversal quelconque 1, on obtient sur ce dernier deux faisceaux projectifs de rayons, et chaque point d'intersection de deux rayons correspondants de ces faisceaux est situé sur un rayon du système.

La surface doublement rectiligne étant, d'autre part, considérée comme engendrée par deux ponctuelles projectives, si l'on projette

100 GÉOMÉTRIE DE POSITION. — CHAPITRE \l.

ces ponctuelles d'un point quelconque S, on obtient deux faisceaux de rayons projectifs concentriques, et tout plan de jonction de deux rayons correspondants de ces faisceaux passe par un rayon de la surface doublement rectiligne.

On a ainsi démontré la première partie (à droite et à gauche) des deux propositions énoncées.

Pour démontrer la seconde partie de la proposition à droite, faisons passer un plan par trois des points de contact. Ce plan coupe le faisceau de plans suivant un faisceau de rayons du second ordre, dont les trois points choisis sont des points de contact, et qui enveloppe une courbe du second ordre. Mais cette courbe est identique à celle suivant laquelle la surface rectiligne est coupée par le plan, car les deux courbes ont en commun les trois points de contact et leurs trois tangentes.

On démontrerait la seconde partie de la proposition à gauche d'une manière tout à fait analogue, en faisant passer par le point d'intersection de trois plans tangents quelconques tous les plans tangents à la surface rectiligne.

VII. ■ — Hyperboloïde simple et paraboloide hyperbolique. Cône asymptote et plan asymptote.

loi. On donne à la surface doublement rectiligne le nom d'//j perboloïde simple ou d' hyperboloïde à une nappe, quand aucune de ses droites n'est située à distance infinie; la surface est alors coupée par le plan à l'infini suivant une courbe du second ordre.

Si le plan à l'infini contient une génératrice de l'un des systèmes, et par conséquent aussi une génératrice de l'autre système. c'est-à-dire si le plan à l'infini est tangent à la surface, celle-ci prend le nom de paraboloide hyperbolique (').

(') La double génération <le I'hyperboloïde à une nappe et du paraboloide hyperbolique par une droite mobile a été exposée pour la première fois par Monge et par Hachette (Journal de l'École Polytechnique, t. I, p. 5). Cette propriété de l 'hyperboloïde ne fut démontrée d'abord, et pendant longtemps, que par l'Analyse. Chasles, le premier, en a donné une démonstration géométrique, quand il était encore élève à l'École Polytechnique (voir VALLÉE, Traile de Géométrie descriptive, p. 86, et LEROY, Traitcde Géométrie descriptive, p. 267). Quand nous disons que la double génération de I'hyperboloïde aune nappe est due aux géomètres précités, nous n'entendons parler

HTPERBOLOÏDE SIMPLE ET PARABOLOIDE HYPERBOLIQUE. i3l

152. Chacun des systèmes de droites du paraboloide hyperbo- Pique avant une droite à l'infini, les ponctuelles projectives, suivant lesquelles les droites d'un système rencontrent deux droit.es quelconques de l'autre, sont semblables (57).

Un paraboloide hyperbolique est encore décrit par une droite qui se meut en s'appuyant sur deux droites a el //, (non situées dans le même plan) et en restant parallèle à un plan fixe, qui ne contient pas les directions de u et de //,.

En effet, la droite mobile rencontrera non-seulement u et //,. mais encore la droite à L'infini du plan donné; elle engendrera donc une surface rectiligne qui contiendra un rayon, et par suite un second rayon à l'infini.

Le paraboloide hyperbolique est en général coupé suivant une hyperbole par tout plan qui ne passe par aucun raj on; il est coupe suivant une parabole dans le cas seulement où le plan ce,. direction par feulement déterminée.

que-de l'hyperboloïde à axes inégaux, car la double génération, par une droite, ii<' l'hyperboloïde de révolution à une nappe, est due il Wren. Ce géomètre la iit connaître par une Note très-courte, insérée dans les Philosophïcal transactions ( iG6g, p. 961) sous le titre: Generatio corporis cilindroidis kyperbolîci, elaborandis lentibus hyperbolicis accommodât!. Wren indique dans cette Note l'usage qu'on pourra faire du mode degénération par une droite, pour la construction des lentilles hyperboliques.

En 169S, Parent a aussi trouvé cette propriété de l'hyperboloïde de révolution et il l'a démontrée dans deux Mémoires différents, par l'Analyse et par de simples considérations de Géométrie {Essais et recherches de Mathématiques et de Physique, t. II, p. G j.j. et t. III, p. 4/0). Cette propriété, que n'ont pas les autres surfaces engendrées par la révolution d'une conique autour d'un de ses axes principaux, fait dire à Parent que l'hyperboloïde à une nappe est la plus complète de ces surfaces, puisqu'on y peut faire six sections différentes qu'il spécifie. Ce géomètre appelle cette surface cylindroïde hyperbolique, de même que Wken, et se sert aussi de sa propriété d'être engendrée parune droite, pourla construction, sur le tour, des moules hyperboliques propres à la dioptrique.

Sauveur avait aussi démontré cette propriété de l'hyperboloïde de revolution, ainsi que plusieurs autres propositions concernant les volumes et les surfaces des conoïdes, dont Parent avait communiqué les énoncés à ce géomètre (Essais et recherches de Mathématiques et de Physique, t. III, p. 026). Voir Chasles, aperçu historique, etc. Bruxelles, 1887, p. 24 1 -2/|3.

On trouve encore une remarquable démonstration de la double génération de l'hyperboloïde à une nappe, au moyen d'une droite, dnns \\n Mémoire de Coriolis intitulé : Sur la théorie des momenti considérés comme analyse des rencontres des ligues droites (XXIVe Cahier du Journal de l'Ecole Polytechnique). Voir aussi, au- sujet de la convenance des noms choisis pour désigner ces surfaces : Muller, Deitriige zur Terminologie der griechischen Mathematiker . Leipzig, 18G0, p. 3j.

l32 GÉOMÉTRIE DE POSITION. — CHAPITBE XI.

La courbe d'intersection du second ordre passe, en effet, par les deux points où les droites à l'infini de la surface sont rencontrées par tout plan sécant qui ne contient aucun rayon ; et ces deux points ne coïncident que si le plan passe par le point commun aux deux droites à l'infini.

153. L 'hyperboloïde simple n'est pas touche, comme le paraboloide hyperbolique, par le plan à l'infini, mais il est coupé pai' ce plan suivant une courbe du second ordre (151 ).

Tous les plans tangents aux points à l'infini de l'hyperboloïde sont, d'après cela, des plans propres qui se coupent en un point S et forment un faisceau de plans du second ordre (150). La surface conique S, enveloppée parce faisceau, peut être considérée comme tangente à l'hyperboloïde tout le long de sa section à l'infini. Cette surface est nommée cône asymptote. Chaque rayon (génératrice) du cône asymptote est parallèle au rayon de chacun des deux systèmes de droites qui contient son point à l'infini.

Un plan quelconque, ne passant par aucun rayon de l'hyperboloïde simple, le coupe suivant une hyperbole, suivant, une parabole ou suivant une ellipse, selon qu'il rencontre la courbe à l infini de l'hyperboloïde en deux points, ou en un point, ou qu'il ne la rencontre pas ; ou, ce qui revient au même, selon qu'il est parallèle à deux rayons ou à un rayon du cône asymptote, ou qu'il n'est parallèle à aucun de ces rayons.

154. Si, par un point donné quelconque, on mène des parallèles aux rayons d'un système de droites, ces parallèles forment un plan ou une surface conique du second ordre, selon que le système de droites appartient à un paraboloide hyperbolique ou à un hyperboloïde simple. Dans le premier cas, le plan est appelé plan asymptote ( ' ).

(') Los modes de génération indiqués ne sont pas les seuls qui puissent conduire aux surfaces rectilignes ; pour le paraboloide en particulier, les modes de génération se multiplient quand on considère cette surface comme engendrée par le mouvement d'hyperboles ou de paraboles. Voir Steiner, Systcmatische Entwîckelttng, etc. Berlin, 18 la, p. 210.

PARABOLOIDE HYPERBOLIQUE EQUILATERE. 1 33

APPENDICE AU CHAPITRE XI