SECTION DE DEUX SUIIFACES CONIQUES DU SECOND OHDRK. ETC

VIII. — Section de deux surfaces coniques du second ordre suivant une courbe du second ordre et position de deux courbes du second ordre sur une surface conique du même ordre.

1G3. Deux sui faces coniques du I Deux courbes du second ordre

second ordre, qui ont des centres cVj- placées dans des plans différents et

férents et qui sont touchées par un j touchées en un même point par la

même plan suivant la droite de jonc- j droite d'intersection s de leurs plans,

ton s de leurs centres, se coupent j sont situées sur une surface conique

suivant une courbe du second ordre. du second ordre.

Rapportons les surfaces coniques perspectivement au faisceau de plans s. Elles ont le rayon s uni, et deux autres rayons correspondants quelconques ont un point commun, puisqu'ils sont dans un même plan du faisceau s. Le plan qui contient trois quelconques de ces points communs aux couples de rayons correspondants coupe les surfaces coniques suivant deux courbes projectives du second ordre, qui sont identiques, puisqu'elles ont, comme éléments unis, non-seulement ces trois points, mais encore un point de s.

Rapportons les faisceaux do l'avons du second ordrequi enveloppent les courbes, perspectivement à la ponctuelle s. Ils ont le rayon s uni, et deux autres l'ayons correspondants quelconques ont un plan coni ni un.

puisqu'ils passent par un même point de la ponctuelle s. Les faisceaux de layons sont projetés, du point d'intersection de trois quelconques de ces plans communs aux couples de rayons correspondants, au moyen de deux faisceaux projectifs de plans du second ordre, qui sont identiques, puisqu'ils ont, comme éléments unis, non-seulement ces trois plans, mais encore un plan passant par s.

La démonstration peut être conduite plus simplement de la manière suivante :

Faisons passer à gauche un plan par trois points communs aux surfaces coniques. Les deux courbes d'intersection ainsi déterminées ont en commun ces trois points et le point d'intersection de s avec leur plan ; elles sont d'ailleurs touchées en ce dernier point par la droite suivant laquelle le plan tangent commun aux surfaces coniques est rencontré par le plan sécant. Les courbes d'intersection coïncident dès lors dans tous leurs points (72).

On démontrerait le théorème à droite d'une manière analogue.