CHAPITRE XII

IX. — Identité des courbes du second ordre et des sections coniques.

164. Nous déduisons incidemment de ce qui précède que toute courbe du second ordre peut être considérée comme section d'un cône circulaire. On peut en effet placer, d'une infinité de manières, un cercle et une courbe du second ordre donnée, en telle position que ces deux courbes se touchent l'une l'autre et soient dans des plans différents, tout en reposant sur une même surfaceconique . Les courbes du second ordre sont donc identiques aux sections coniques (62), et nous pourrons, par la suite, leur appliquer cette dernière dénomination.

X. — Faisceau de rayons du premier ordre et courbe du second; ponctuelle et faisceau de rayons du second ordre , projectifs , mais non perspectifs.

165. Si une courbe s du second ordre est projective, mais non perspective, h un faisceau S de rayons du premier ordre, situé dans son plan, trois rayons au plus du faisceau, mais un au moins, passent par les points de la courbe qui leur correspondent.

Si un faisceau de rayons du second ordre est projectif, mais non perspectif, à une ponctuelle située dans son plan, trois points au plus de la ponctuelle, meus un au moins,, sont situés sur les rayons du faisceau qui leur correspondent.

Tout faisceau de rayons S(, perspectif à la courbe s, et, par suite, projectif au faisceau S, engendre généralement avec celui-ci une deuxième courbe du second ordre, et tout point de s, situé sur le rayon de S qui lui correspond, est évidemment commun aux deux courbes.

Si plus de trois points de s reposaient sur les rayons correspondants de S, les deux courbes auraient, outre le point S|, quatre points communs au moins; elles seraient par conséquent identiques et S serait perspectif à s, ce qui est contraire à l'hypothèse. Donc, trois rayons au plus du faisceau S passent par les points de la courbe s qui leur correspondent.

Toute courbe du second ordre divisant le plan qui la contient en