COURBE PLANE ET COURBE GAUCHE DU TROISIÈME ORDRE. FAISCEAU, ETC. I \ I

deux parties distinctes (107), les deux courbes considérées doivent se toucher au point commun S,, ou bien se couper au point S, et, par suite, au moins en un second point P, car chacune d'elles se trouve alors, partie au dedans et partie au dehors de l'autre. Dans le premier cas, au rayon SS( de S correspond la tangente commune en S| et par conséquent le point S, de la courbe .s situé sur SS,. Dans le second cas, les rayons SP, S,P se correspondent et SP passe conséquemment par le point P de la courbe s qui lui correspond. Donc un rayon du faisceau S passe par le point correspondant de la courbe s.

16G. Les formes du premier et du second ordre, dans la gei lie, donrient lieu à des propositions tout à fait analogues. On en déduit que :

Si une forme fondamentale simple et une forme du second ordre sont projectivement rapportées entre elles, et si plus de trois éléments de l'une fiassent par leurs correspondants de l'autre, les deux formes sont perspectives, et tout élément de l'une passe par son correspondant de l'autre.

Si la forme du second ordre est un système de droites génératrices d'une surface doublement rectiligne, et celle du premier ordre une ponctuelle ou un faisceau de plans, on dit qu'elles sont en position perspective lorsque trois ravons du système de droites passent par les trois points correspondants de la ponctuelle, ou reposent sur les trois plans correspondants du faisceau de plans. Le lieu de la ponctuelle, ou l'axe du faisceau de plans, est une génératrice du système, car il coupe trois rayons de celui-ci.

Xî. — Courbe plane et courbe gauche du troisième ordre. Faisceau de rayons et faisceau de plans du troisième ordre.

167. On reconnaîtra l'importance des précédentes propositions aux conséquences qui s'en déduisent :

Si une ponctuelle u et une courbe s du second ordre, qui lui est projectile, sont situées dans un même plan,

Si un faisceau de rayons du premier ordre et un faisceau de' rayons du second ordre, qui lui est projcc-

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GEOMETRIE DE POSITIOÎ

cmm'itui: \ir.

les droite-; de jonction des couples ti f, sont situés dans un même plan, de points correspondants forment un les points d'intersection des couples faisce\u de rayons du troisième ! de rayons correspondants forment

ordre K., qui a au moins un raj oh commun, au /dus trois rayons communs avec tout luis ■eau du premier ordre ne faisant pas partie du faisceau K.

une courre du troisième ordre k, qui a au monts un point commun, au plus trois points communs avec toute droite du plan ne faisant pas partie de la courbe k.

En effet (à gauche), si S est une faisceau quelconque du premier ordre, perspectif à a et conséquemment projectif à s, tous les rayons de S, ou trois rayons au plus, ou un rayon au moins, [Hissent par les points correspondants de s (16o).

Une surface conique dit second ordre, ou un système de droites, engendrent, avec un faisceau de plans du pic/nier ordre qui leur est projectif, une courbe gauche du troisième ordre dont un point au moins, trois points au plus, .sont situés sur tout plan donné.

Un faisceau de rayons du second ordre, ou un système de droites, engendrent, avec une ponctuelle qui leur est projective, in faisceau de

PLANS DU TROISIÈME ORDRE dont Ufi

plan au moins, trois pians au plus, passent par tout point donné.

En effet (à gauche) tout plan coupe la surface conique, ou le système de droites, suivant une courbe du second ordre qui leur est perspective et dont un point au moins, trois points au plus, sont situés, en général, sur les plans correspondants du faisceau (160).

168. Si la ponctuelle u et la courbe s du second ordre ont un point uni, chacun des l'ayons passant par ce point doit être considéré comme la droite de jonction de deux points correspondants en coïncidence, et l'ensemble de ces rayons constitue un iaîsceau du premier ordre, qui est contenu tout entier dans le faisceau de rayons du troisième ordre. Les propositions suivantes doivent donc être considérées comme des cas particuliers de celles qu'on vient de démontrer.

Si une ponctuelle u et une courbe s du second ordre, qui lui est projective, ont deux points A, B unis, elles

Si un faisceau, de rayons du premier ordre et ////faisceau de rayons du second, qui lui est projectif, ont

RELATIONS ENTRE FORMES ÉLÉMENTAIRES. 1 j'5

engendrent un faisceau de raj ons du \ deux rayons unis, ils engendrent une

premier ordre. ponctuelle.

Soit C, le point de s qui correspond au point C de //, et soit S le point de s qui est projeté de C par le rayon C, (]. llapporlons //, et s perspectivcment au faisceau de rayons S: ces deux formes sont alors rapportées projectivement outre elles, de telle sorte qu'aux trois points A, B, G de u correspondent respectivement les trois points A, B, C, de .v. Mais la projectivité de u el île s esl déjà complètement déterminée (159) par trois couples île points correspondants; les droites de jonction de tous les couples de points correspondants forment donc effectivement un faisceau de rayons S du premier ordre, dont le centre est sur la courbe s.