XII. — Relations entre formes élémentaires
1G9. Une courbe du second ordre
et deux droites a, b. qui ont chacune un point commun avec la courbe, mais qui ne sont, ni dans le plan de la courbe, ni dans un même plan, déterminent un système de droites perspectif à la courbe et dont les deux droites données sont directrices.
Les faisceaux de plans a et b, perspectifs à la courbe, engendrent le système de droites.
Un faisceau de plans du second ordre et deux droites a, b, qui soni projetées du centre du faisceau par deux de ses plans, mais qui ne se rencontrent pas, déterminent un système de droites perspectif au faisceau et dont les deux droites données sont directrices.
Les deux ponctuelles a et b, perspectives au faisceau de plans, engendrent le système de droites.
Le système de directrices, qui contient les droites a et b, est de même perspectif, respectivement, à la courbe et au faisceau de plans du second ordre.
170. Si une ponctuelle et une courbe du second ordre, situées dans des plans différents, sont projectives et ont un point uni A, elles engendrent un système de droites qui leur est perspectif.
Si un faisceau de plans du premier ordre et un autre du second ordre, dont le centre ne se trouve pas sur l'axe du précédent, sont projectifs el ont un plan uni, ils engendrent un système de droites qui leur est perspectif.
Aux trois points A, B, C de la ponctuelle (à gauche) correspondent les trois points A,, B,, C, de la courbe; et le système de droites, perspectif à la courbe, auquel appartiennent les droites BB,, CC0 est aussi perspectif à la ponctuelle, car les trois points A, B, C de celle-ci sont sur les rayons qui leur correspondent dans le système de droites (122). On démontre de même la proposition à droite.
171. D'un point quelconque, pris hors du plan de la courbe, on projette cette courbe au moyen d'une surface conique du second ordre et le système de droites au moyen d'un faisceau de plans du premier ou du second ordre. Le faisceau de plans du second ordre est coupé, par un plan quelconque, suivant un faisceau de rayons du second ordre, et le système de droites suivant une ponctuelle ou suivant une courbe du second ordre ; donc :
Une ponctuelle et une surface conique du second ordre étant projectives, si un point de la ponctuelle est situé sur le rayon correspondant de la surface, les deux formes engendrent un faisceau de plans du premier ou du second ordre, qui leur est perspectif.
Un faisceau de plans du premier ordre et un faisceau de rayons du second étant perspectifs, si un plan du premier faisceau passe par le rayon correspondant du second, les deux faisceaux engendrent une forme de points du premier ou du second ordre, qui leur est perspective.
Cette proposition conduit immédiatement à la suivante, si l'on remarque que toute courbe du second ordre peut être considérée comme section d'une surface conique du second ordre (164) :
Si une ponctuelle et une courbe du second ordre, situées dans un plan, sont projectiles et ont un point uni, elles engendrent un faisceau de rayons, du premier ou du second ordre, qui leur est perspectif .
Si deux faisceaux de rayons, l'un du premier ordre, l'autre du second ordre, situes dans un plan, sont projectifs et ont un rayon uni, ils engendrent une forme de points, du premier ou du second ordre, qui leur est perspective.
172. Deux systèmes da droites, a, b, c et a,, /;,, c,, projectifs entre eux, et constituant chacun un système: de directrices de /'autre, engendrent en même temps une courbe du second ordre
FORMES PROJECTIVES SITUEES LUNE SUB L AUTRE. i 4 j
qui leur est perspective et un faisceau de plans du second ordre qui leur est aussi perspectif.
Les deux systèmes de droites ne peuvent être rapportés entre eux que d'une seule manière, les rayons a, b, c de l'un correspondant respectivement aux rayons a,, b,, c, de l'autre. ^lai> cette condition est remplie truand on fait correspondre deux à deux les ravons qui coupent en un même point le plan des trois points <v</,, bbt, cct, ou qui sont projetés par un même plan du point d'intersection des trois plans an,, bb{, cct.
