RELATION PROJECTIVE ENTRE LES FORMES FONDAMENTALES, ETC. KJI

227. Si deux systèmes plans sont réciproques, à la droite à l'infini de l'un correspond un point déterminé de Vautre. Toute droite passant par le point ainsi déterminé dans V un des systèmes contient les points du même système auxquels correspondent des droites parallèles dans le système réciproque (225).

III. — Relation projective entre les formes fondamentales de la seconde espèce.

228. Deux formes de la seconde espèce, collinéaires ou réciproques, sont projectiles.

A tout système harmonique de l'une correspond en effet un estèrne harmonique dans l'autre.

Soient, par exemple, A, B, C, D (jig- 63) quatre points harmoniques d'un système plan S, et au bh. c,, d{ les quatre rayons

Fis. 63

correspondants d'un système plan S,, réciproque à 2. Les points A, B, C, D étant situés sur une droite u, les rayons a{) bs, e,, d\ doivent passer par un point U( (225). A toutquadrangleKLMN de 2, dont deux côtés opposés passent par A, deux autres par G, et les deux derniers respectivement par B et D, correspond, dans S|, un quadrilatère kKlKmAnKi dont deux sommets opposés s'appuient sur at, deux autres sur C\, et les deux derniers, respectivement, sure, cld{. Donc ai} bl} c,, d\ sont bien quatre rayons harmoniques.

ig2 GÉOMÉTRIE DE POSITION. — CHAPITRE XV.

On déduit de là que :

Deux formes simples, qui se correspondent dans des formes fondamentales collinéaires ou réciproques, sont projectiles.

A quatre éléments harmoniques de l'une correspondent toujours, en effet, quatre éléments harmoniques dans l'autre.

229. Le théorème précédent fournit le moyen de rapporter proiectivement entre elles deux formes fondamentales de la seconde espèce.

Soient, par exemple, à rapporter réciproquement entre eux deux systèmes plans, 2 et 2, (Jig. 64). A tout point de Z devra cor-

Fig. 64.

respondre un rayon de S, ; à toute ponctuelle de 2, un faisceau de rayons, projectif à la ponctuelle, dans 21, , et vice versa. Prenons dans Z deux ponctuelles, u et v, et assignons-leur comme correspondants, dans 2,, deux faisceaux de rayons, Ut et Vt, en rapportant projectivement u à U, et v à V,, de façon qu'au point commun P de u et de v corresponde le rayon commun ps de Ut et de V,.

Tout rayon k de 2, ne passant pas par P coupe les droites u et v respectivement en deux points A et D, auxquels correspondent respectivement les rayons aK et d{ dans les faisceaux Ut et V( de E,. Le point d'intersection K, de ces rayons a pour correspondant le rayon AD ou k.

A tous les rayons d'un faisceau S correspondent tous les points d'une droite st. En effet, les ponctuelles u et v sont rapportées perspectivement entre elles, au moyen du faisceau S de rayons, de