RELATION PROJECTIVE ENTRE LES FORMES FONDAMENTALES. ETC

façon à avoir le point Puni; conséquemment, les faisceaux U,, A, sont aussi rapportés perspectivement entre eux, de façon à avoir le ravon />, uni. Ces deux faisceaux perspectifs engendrent une ponctuelle .v,, qui correspond au faisceau S de ravons.

On voit donc que, moyennant la correspondance des formes u et U,, v et V|, projeclives entre elles, à tout ravon A de 2 est assigné, comme correspondant, un point K, de 2,, et à tout point S, situé sur/., un ravon s{ passant par K, ; en sorte que les systèmes 2 et 2| sont bien rapportés réciproquement entre eux.

230. Pour rapporter collinéairement entre eux deux svstèmes plans, 2 et 2,, il suffît de les rapporter réciproquement à un troisième, suivant le mode précédemment indiqué.

On déduit de là les procédés suivants :

i° Prendre arbitrairement deux ponctuelles, u elw, sur 2, deux autres, «, et vK, sur S, et rapporter projectivement u à //,, v à vKi de telle sorte que le point commun uv corresponde au point commun uK c, .

2° Assigner comme correspondants à deux faisceaux quelconques U et A de 2, deux faisceaux U| et \ , de 2,, et rapporter projectivement U à U(, V à Y,, de telle sorte que le rayon UV de 2 corresponde au rayon U| Y, de 2, .

On pourrait, d'une manière analogue, rapporter collinéairement ou réciproquement deux gerbes, ou une gerbe et un système plan. Mais il est plus commode de ramener ces cas à ceux que nous avons déjà traités, en substituant à chaque gerbe une de ses sections planes.

Pour rapporter réciproquement entre elles deux gerbes, S et S), en peut prendre à volonté dans S deux faisceaux de ravons c/. et (3 et dans S, deux faisceaux de plans a{ et bt ; « est rapporté projectivement à aK et j5 à bs, de telle sorte qu'au ravon commun <*£ des faisceaux de ravons corresponde le plan commun aKb\ des faisceaux de plans. Dans ces conditions, tout élément déterminé de la gerbe S, correspond à un élément de la gerbe S.

231. Pour rapporter réciproquement entre eux deux systèmes plans 2 et 2, (fig- 6*4), nous avons pris d'une manière arbitraire (229) les droites u et v dans 2 et les points correspon-

I q4 GÉOMÉTRIE DE POSITION. — CHAPITRE XV.

liants U| et V, dans E,. Nous avons pu, en outre, rapporter projectivement u à Ut et i> à Vt d'une manière quelconque, sous la seule condition que le point uv ou P ait pour correspondante la droite de jonction U| V( ou/?,. Nous pouvons donc encore assigner comme correspondants, à deux points quelconques A et B de u, deux rayons quelconques a{ et Z>, de Ut, et de même, à deux points quelconques G et D de v, deux rayons quelconques c, et d{ de V, . A tout élément de E est alors assigné, comme correspondant, un élément déterminé de E,.

On peut évidemment, sous la condition déjà exprimée, considérer ABGD comme un quadrangle tout à fait quelconque du plan 2 et, pareillement, aibtctdi comme un quadrilatère tout à fait arbitraire du plan 2( ; donc :

Pour rapporter réciproquement entre eux deux systèmes plans, E, E(, il suffit d'assigner arbitrairement aux sommets A, B, C, D d'un quadrangle quelconque de E, les côtés a{, b{, c,, dt d'iui quadrilatère quelconque de E, ; un élément déterminé de E, est alors assigné comme correspondant à tout élément de E.

On peut, de même, rapporter collinéairement entre eux deux systèmes plans, et faire ainsi que deuxquadrangles ou deux quadrilatères de ces systèmes correspondent l'un à l'autre d'une manière déterminée. Le théorème peut être étendu à des formes fondamentales quelconques de la seconde espèce, puisque tous les cas possibles peuvent être ramenés à celui que nous venons de traiter.

Nous dirons donc, en généralisant :

Deux Jormes Jond amentales de la seconde espèce peuvent être rapportées projeclivement entre elles, de telle façon que quatre éléments quelconques A, B, C, D de la même espèce dans l'une, dont trois n appartiennent jamais à une même forme fondamentale simple, soient assignés comme correspondants à quatre éléments Ai} B,, C|, D( de l'autre forme.

Deux éléments correspondants, tels que A et A,, sont les lieux de deux formes fondamentales simples, rapportées projectivement entre elles, de telle façon qu'aux éléments AB, AC et AD correspondent respectivement les éléments A, B,, A, C, et AtD,.

CORRESPONDANCE ENTRE LES COURBES. I(j5