FORMES UNIES DANS LES SYSTEMES COLLINE.URES

le point d'intersection d'un rayon quelconque DDj, passant par S, et de la droite u, la droite PD correspond à la droite PDt, c'est-à-dire à ellemême, puisque le point P correspond à lui-même. Tout rayon passant par S coïncide donc avec son correspondant; d'où il suit que deux points correspondants quelconques sont situés sur un rayon passant par le point S.

Si, au contraire, les systèmes se coupent suivant une droite u, deux droites telles que DD^ EE,, joignant deux couples quelconques de points homologues, sont situées dans un même plan et conséquemment se coupent. Mais toutes les droites qui joignent les couples de points homologues ne sont pas dans le même plan ; elles ne peuvent donc se couper deux à deux qu'à la condition de passer par un même point fixe S (17). Les deux systèmes plans sont donc des sections d'une même gerbe S.

jonction d'un rayon quelconque S§u situé sur 2, et de l'axe //, le rayon tzS correspond au rayon 7:<ît , c'està-dire à lui-même, puisque le plan ■k correspond à lui-même. Tout rayon situé sur 2 coïncide donc avec son correspondant; d'où il suit que deux plans correspondants quelconques se coupent suivant un rayon du plan 2.

Si, au contraire, les gerbes ont des centres différents, situés sur l'axe u, deux droites telles que Sd^ Est, intersections de deux couples quelconques de plans homologues, sont situées dans un même plan et conséquemment se coupent. Mais toutes les droites d'intersection des couples de plans homologues ne passent pas par un même point ; elles ne peuvent donc se couper deux à deux qu'à la condition d'être situées dans un même plan 2 (17). Les deux gerbes sont donc des projections d'un même système plan Z.

Quand on se borne à considérer les systèmes plans non superposés et les gerbes non concentriques, ces deux théorèmes remarquables peuvent être énoncés ainsi :

Deux systèmes plans collinéaircs, non superposés , sont perspectifs quand ils ont trois points unis sur la droite commune à leurs plans.

Deux gerbes col linéaires, non concentriques, sont perspectives quand elles ont trois plans unis passant par la droite commune à leurs centres.

Les propositions inverses apparaissent immédiatement

Deux systèmes plans perspectifs, non superposés, ont comme éléments unis tous les points de la droite commune à leurs plans.

Deux gerbes perspectives, non concentriques, ont comme éléments unis tous les plans qui contiennent la droite connu une à leurs centres.

2io. Deux systèmes plans collinéaircs superposés qui ont une ponctuelle unie ( c'est-à-dire tous les points de celte ponctuelle unis) ont aussi un faisceau de rayons uni (c'està-dire fous les rayons de ce faisceau unis).

Soient Z et ZY les deux systèmes proposés, u leur ponctuelle unie, a et al deux droites qui se correspondent dans les deux systèmes. Les deux ponctuelles situe'es respectivement sur a et <?j sont projectives, à raison même de la collinéation. Elles ont d'ailleurs comme élément uni leur point commun sur la ponctuelle unie u ; donc elles sont perspectives.

Soit b un rayon quelconque du faisceau de rayons T qui projette les ponctuelles <7, au et soient B, BM M les points où ce rayon rencontre respectivement les ponctuelles a, r/,, u.

Le point B de a correspondant au point Bj de ax et le point M correspondant à lui-même, le rayon b est son propre correspondant, et il en est ainsi de tous les autres rayons de T. Les deux systèmes plans Z et Zt ont donc le faisceau T de rayons uni.

Propositions inverses :

Deux systèmes plans collincaiies superposes- qui ont un faisceau de rayons nui ont aussi une ponctuelle unie.

En effet, les deux gerbes concen-

Dcux gerbes collincaiies concentriques qui ont un faisceau de plans uni (c'est-à-dire tous les plans de ce faisceau unis) ont aussi un faisceau de ir/yons uni (c'est-à-dire tous les rayons de ce faisceau unis).

Soient S et S[ les deux gerbes proposées, u leur faisceau de plans uni, a et a y deux rayons qui se correspondent dans les deux gerbes. Les deux faisceaux de plans qui ont pour axes respectifs a et a{ sont projectifs, à raison même de la collinéation. Ils ont d'ailleurs comme clément uni leur plan commun dans le faisceau de plans uni u ; donc ils sont perspectifs. Soit b un rayon quelconque du faisceau de rayons T suivant lequel se coupent les faisceaux de plans a, au et soient |4, pit p, respectivement, les plans des faisceaux a, a,, u, qui passent par ce rayon. Le plan.

jî de a correspondant au plan [3, de at et le plan w correspondante lui-même, le rayon b est son propre correspondant, et il en est ainsi de tous les autres rayons de T. Les deux gerbes S et Sj ont donc le faisceau T de rayons uni.

Deux gerbes collincaircs concentriques qui ont un faisceau île raj ons uni ont aussi un faisceau de plans

uni.

En effet, les deux systèmes plans

triques, qui projettent les systèmes superposés, suivantlesquelsN sgerbes plans d'un centre quelconque, ont I sont coupées par un plan quelconque,