III. — Courbes correspondantes dans les systèmes alliés

254. Deux courbes correspondantes, dans deux systèmes alliés, ont le même nombre de points à l'infini et le même nombre d'asymptotes.

En effet, à tout point à l'infini de l'une des courbes doit correspondre un point à l'infini de l'autre, et à toute tangente en un point à l'infini de la première, une tangente au point à l'infini correspondant de la seconde; donc :

Deux systèmes plans étant alliés, une ellipse, une parabole, une hyperbole de l'un correspondent respectivement à une ellipse, h une parabole, à une hyperbole de l'autre.

Il est aisé de démontrer que, réciproquement :

Deux ellipses , deux paraboles, ou deux iiyperboles étant données, les points de V une peuvent être rapportés d'une infinité de manières aux points de l'autre, de façon à fournir deux figures alliées.

255. Pour allier deux paraboles données, il suffit de prendre arbitrairement deux points de l'une et de leur assigner comme correspondants deux points quelconques de l'autre.