III. — Positions respectives du pôle et du plan polaire

27 ï. De la définition du plan polaire, il résulte que :

Tout point de la surface a pour plan polaire le plan langent en ce même point.

Et réciproquement : Tout plan tangent à la surface a pour pôle son point de contact.

Le mode de correspondance entre les points et les plans est établi par la double proposition suivante :

Quantité plaît polaire d'un point h.

passe par un point B, le plan polaire de B passe par A.

Quand le pôle d'un plan « est situe sur un plan (3, le pôle de 3 est situé sur k.

Menons, en effet, par AB un plan qui coupe la surface suivant

JL1&

CHAI'ITIΠXVII.

une conique. D'après l'hypothèse, la polaire de A, relativement à la conique, passe par B; conséqucmment, la polaire de B passe par A (108). Mais cette polaire est située dans le plan polaire de B relativement à la surface du second ordre (271); donc, si le plan polaire de A passe par B, réciproquement, le plan polaire de B passe par A.

On démontrerait de même la proposition à droite.

De là ces conséquences :

Quand un point se meut dans un plan, son plan polaire tourne autoui du pôle de ce plan.

Quand un point se meut sur une droite (c'est-à-dire sui' deux plans passant par cette droite}, son plan polaire tourne autour d 'une autre droite.

En effet, ce plan polaire tourne en même temps autour des pôles des deux plans, c'est-à-dire autour de la droite de jonction de ces pôles.

Quand un plan tourne autour d'un point, son pôle se meut dans le plan polaire de ce point.

Quand un plan tourne autour d'une droite (c'est-à-dire autour de deux points de cette droite), son pôle se meut sur une autre droite.

En effet, ce pôle se meut en môme temps sur les plans polaires des deux points, c'est-à-dire sur la droite d'intersection de ces plans polaires