VI. — Surfaces polaires réciproques

277. La polarité clés surfaces du second ordre conduit à un cas particulier de la réciprocité dans l'espace.

Un système quelconque de points, de droites et de plans étant donné, si l'on détermine, par rapport à une surface fixe du second ordre, les plans polaires de ses points, les droites polaires de ses droites et les pôles de ses plans, on obtient un second système dont les points, les droites et les plans correspondent respectivement aux plans, aux droites et aux points du premier. Aux points d'une droite correspondent les plans passant par une autre droite; en d'autres termes, à une ponctuelle correspond un faisceau de plans, et il est évident que ces deux formes sont projeclives (228). Deux systèmes ainsi disposés sont dits polaires réciproques. A tout théorème, relatif à l'un, correspondra le théorème réciproque, relatif à l'autre.

Si, dans le premier système, un point décrit une surface E du nième ordre, le plan correspondant à ce point, dans le second système, restera tangent à une surface E , de la nlème classe (*). A un point P de la première surface correspondra un plan tï,, tangent àia seconde; aux droites tangentes à H en P correspondront les droites tangentes à E, et contenues dans le plan r.{. Mais les premières tangentes sont dans le plan 7T, qui touche H en P, et les secondes passent par le point P,, où H, est touchée par tt, ; donc le plan u est précisément celui qui correspond au point P(.

Il résulte de là que, si un point décrit la surface E, dans le second système, le plan correspondant du premier système restera tangent à la surface Ë. Dès lors, si E est de la nlètme classe, E, sera du nième ordre. Ainsi apparaît manifeste la parfaite réciprocité entre les surfaces E et E,, qu'on appelle, pour ce motif, surfaces polaires réciproques (2).

(') L'ordre d'une surface quelconque est déterminé par le plus grand nombre d'inlersections possibles de celte surface avec une droite. La classe d'une surface développable dépend du plus grand nombre de plans tangents qu'on peut mener à cette surface d'un même point.

(4) Il convient de rappeler, à ce sujet, le Mémoire de Monge SUT les surfaces réciproques, qui est mentionné dans une liste de ses différents Mémoires, placée au coin-