GERBE DE PLANS ENVELOPPE DE TOUTE SURFACE DU SECOND ORDRE
Il est presque superflu d'ajouter que tout polyèdre inscrit dans l'une des deux surfaces a pour polaire réciproque un polyèdre circonscrit à l'autre, et vice verset.
VII. — Gerbe de plans enveloppe de toute surface du second ordre.
278. Toute surface du second ordre est enveloppée par une gerbe de plans du second ordre.
Considérons la surface du second ordre engendrée par deux gerbes réciproques, S et S,, c'est-à-dire la surface dont chacun des points est déterminé (264) par l'intersection d'un plan de S et du rayon correspondant de S,. Les plans et les rayons de ces dciiv gerbes réciproques ont respectivement pour pôles et pour polaires, par rapport à la surface du second ordre, des points et des droites situés sur les plans polaires des centres S et St, c'està-dire (274) sur les plans tangents à la surface en S et en S|. Ces points et ces droites constituent donc deux systèmes plans, S et
mencement de son Application de l'Analyse à la Géométrie (3e édition, Paris, 1809, p. 4)- Ce Mémoire n'a pas été publié, mais il résulte d'une Note jointe à son titre que les surfaces considérées par Monge sont polaires réciproques par rapport au paraboloide de révolution qui a pour équation xi-x~jrt= oc. Il est à regretter que le Mémoire de Monge soit resté inédit. Il eût été intéressant de connaître la voie qui a conduit ce géomètre à ses surfaces réciproques, et surtout de savoir quel usage il faisait de cette invention.
Chasles a fait connaître un nouveau système de surfaces réciproques, analogues à celles de Moxge, mais qui ne font point partie des surfaces polaires. Ces nouvelles surfaces ont entre elles une relation géométrique que Chasles exprime de la manière suivante : Une surface étant donnée, on pourra lui imprimer un mouvement infiniment petit, tel que les plans normaux aux directions que prendront ses différents points, pendant ce mouvement, seront précisément les plans tangents à la surface réciproque. Le mouvement à imprimer sera le résultat des deux mouvements élémentaires simultanés, dont le premier sera de révolution autour de V axe des z regarde comme fixe, et le second de translation dans la direction de cet axe.
Ces dernières surfaces réciproques et celles de Monge sont des cas particuliers de surfaces dont l'expression analytique, beaucoup plus générale, a été donnée par Chasles {Aperçu historique, etc. Biiixelles, 18.37, Note XXX. — Rapport sur les progrès de la Géométrie. Paris, 1870, p. 90). Voir aussi, au sujet des surfaces réciproques considérées par Monge, les recherches de A. de Morgan : Methods of integrating partial différenciai Equations (Transactions de la Société philosophique de Cambridge, |8'|9, t. VIII, p. 6o6-6i3j. — On some points of the integrai Calculas {Ihid., i85i, t. IX., p. 119).
a30 GÉOMÉTRIE DE POSITION. — CHAPITRE XVII.
Sj, qui sont évidemment réciproques (225, 27o) et qui engendrent (263, 264) une gerbe de plans du second ordre à laquelle appartiennent les plans 2 et Zt. Tout plan de cette gerbe contient un point P de 2, par exemple, et le rayon correspondant p\ deSj. Mais le point P de E est, par construction, le pôle d'un plan r. de S et le rayon p\ de £, est la droite polaire du ravon /;, de S, qui correspond au plan tt. Le plan P//, de la gerbe du second ordre est donc le plan polaire du point-/?, ; et, comme ce point appartient à la surface (264), son plan polaire Vp\ est tangent à la même surface en r.p{. La surface du second ordre est donc enveloppée par la gerbe du second ordre formée de l'ensemble des plans tels que P//, .
