VIII. — Points conjugués et plans conjugués
279. Deux points, P et Pj, sont dits conjugués par rapport à une surface du second ordre, quand l'un d'eux, Pn est situé sur le plan polaire 77 de l'autre; auquel cas le point P est pareillement situé sur le plan polaire rr1 de Pt (274).
Un point P et une droite g sont conjugues quand P est sur la polaire de g et quand, par suite, le plan polaire de P passe par g.
Deu\ plans, 77 et icu sont dits conjuguas par rapport à une surface du second ordre, quand l'un d'eux, 77], passe par le pôle P de l'autre; auquel cas le plan - passe pareillement parle pôle P, de vx.
Un plan 77 et une droite g sont conjugués quand 77 passe par la polaire de g et quand, par suite, le pôle de 77 est sur sr.
Deux droites sont dites conjuguées lorsque chacune d'elles et la polaire de l'autre sont situées dans un même plan.
Un point est donc conjugué à tous les points et à tous les rayons situés dans son plan polaire ; un plan, à tous les rayons et à tous les plans qui passent par son pôle; enfin, une droite g à tous les points situés sur sa polaire gt, à tous les plans qui passent par g{ et à toutes les droites qui sont coupées par «-,.
Tout point de la surface, toute droite tangente et tout plan langent à la surface, sont conjugués à eux-mêmes.
280. Si (leur points A et B sont conjugués par rapport à une surface
Si deux plans a. et fi sont conjugués ]>ar rapport à une surface du
POINTS CONJUGUÉS KT PLANS CONJUGUÉS. 23l
de second ordre, ils sont aussi conjugues par rapport à toute courbe du second ordre résultant de la section de la surface par un plan du faisceau AB.
second ordre, ils sont aussi conjugués par rapporta toute surface conique du second ordre enveloppant la surface et ayant pour centre un point de la droite a|3.
En effet, d'après l'hypothèse, le plan polaire du point A passe par B. Ce plan contient d'ailleurs la polaire de A par rapport à la courbe d'intersection du second ordre; cette polaire commune à deux plans doit par conséquent contenir le point l!. commun aux deux mêmes plans.
Il résulte de la que, si g est une droite non conjuguée avec elle-même, et si l'on rapporte entre eux deux points conjugués de la ponctuelle g, ou deux plans conjugués du faisceau g, les points de la ponctuelle ou les plans du faisceau seront accouplés involuloirement.
Si, dans un faisceau de rayons, dont le centre et le plan ne sont pas conjugués avec eux-mêmes, les rayons conjugués se correspondent deux à deux, tous les rayons sont accouplés involutoi renient.
Cette dernière proposition peut être ramenée à la précédente, car on peut déterminer, dans le plan du faisceau, un point conjugué à chaque rayon; on obtient ainsi une ponctuelle en involution, à laquelle le faisceau de rayons est perspectif.
DIAMÈTRES ET PLANS DIAMÉTRAUX DES SURFACES DU SECOHD ORDRE. CENTRES ET AXES PRINCIPAUX n.
