SURFACES ALLIÉES

d et d{ des surfaces TI et lïj, qui joignent respectivement les points D et D, aux centres de k et de À,, se correspondent aussi. Enfin, à toute parabole située sur II, coupée par k en deux points K, L et contenue dans un plan passant par <7, correspond, dans le second espace, une parabole coupée par A, aux; points Ki, L] et contenue dans un plan passant par dy. Cette seconde parabole se trouve précisément sur la surface 11,, car elle a en commun, avec une courbe plane de cette surface, sa tangente à l'infini, plus les points K, et L,, plus encore les tangentes D! K, et D^t qui correspondent aux tangentes DK et DL de la première parabole. Or, tout point de 11 se trouve sur une parabole disposée comme il vient d'être dit et a, par conséquent, pour correspondant un point de 1^. Les surfaces II et ri[ se correspondent donc entre elles.

306. Si les paraboloides II et nx sont elliptiques, les segments détachés par les plans des ellipses k et ky sont entre eux comme les cônes DÀ, D^. Mais les ellipses k et kl sont prises arbitrairement sur les deux surfaces. Donc :

Fig. 7.', .

Tout segment d'un paraboloide elliptique est en rapport constant avec le cîne circonscrit au paraboloide, suivant la base du segment.

Pour déterminer ce rapport constant, on peut choisir le cas très-simple où le paraboloide est engendré par la rotation d'une parabole AOB [fig . 74 ) autour de l'axe OF, la base AB du segment étant perpendiculaire à l'axe et passant par le foyer F de la parabole. Le sommet D du cône circonscrit est alors un point de la directrice de la parabole et l'angle ADB est droit. On prend les segments OP, OPl7 égaux et opposés; on mène PMQ, P^i et OC perpendiculaires à DF, et l'on a