PQ = DP=DO + OP, P1Q1 = DP1 = DO — OP

d'où

PQ' — P1Q1 =WP

On voit par là que, si la figure DAF tourne autour de DF, le cercle décrit par MP est égal à la différence des cercles décrits par PQ, P,Q,. Ainsi, le solide engendré par la portion de parabole OAF est égal à la différence des solides engendrés par le trapèze OCAF et par le triangle DCO, c'est-àdire égal à la différence entre le solide engendré par le triangle DAF et le double du solide engendré par le triangle DCO. Le premier de ces deux solides est égal à huit fois le second, car sa hauteur est double, et l'aire de sa base quadruple; donc le segment parabolique engendré par la figure OAF est i — 2 . -i- = | du cône engendré par le triangle DAF. Donc :

Le volume d'un segment de paraboloide elliptique est égal aux trois quarts du volume du cône circonscrit au paraboloide suivant la base du segment.

307. Pour allier deux ellipsoïdes 0, 0,, il suffit d'allier entre elles les ellipses k, kl suivant lesquelles ils sont respectivement coupés par deux plans diamétraux pris arbitrairement, et d assigner, en outre, comme correspondants, le point D, où la surface 0 est touchée par un plan parallèle au plan de k, et le point D,, où la surface 0t est touchée par un plan parallèle au plan de kt.

Cela revient à allier les deux espaces ou systèmes solides dans lesquels se trouvent les ellipsoïdes donnés, de telle manière qu'à l'ellipse k corresponde l'ellipse ki et au point D le point Dj.

Les centres M, Mt des ellipses k et kif qui sont aussi les centres des ellipsoïdes 0 et 0l5 se correspondent alors; et l'ellipse qui résulte de la section de 0 par un plan du faisceau MD et qui coupe k en K et L, a pour correspondante, dans le second système, une ellipse qui coupe /,, aux points Kj, Lj, et qui est située dans un plan passant par A^Dj. Cette seconde ellipse est sur l'ellipsoïde 0n car elle a en commun, avec une section plane de cet ellipsoïde, les points D,, K1} Lj et les tangentes en Kt et en Lx. Ces tangentes, en effet, sont parallèles au diamètre M, D,, parce que les tangentes correspondantes en K et L sont parallèles à MD, et parce que les diamètres MiDt et MD sont respectivement conjugués aux plans diamétraux /•! et k.

Pour allier les ellipses k et ku il suffit de prendre comme correspondants deux diamètres conjugués de l'une et deux diamètres conjugués de l'autre; conséquemment :

Pour allier deux ellipsoïdes, il suffit d'assigner comme correspondants deux ternes de diamètres conjugués.