XII PRÉFACE

trie n atfas de route particulier e à l'usage des rois (y.-), elvcu SafftXix^v êypaTTov icpoçrswjiETpiav). » Nous pouvons dire, avec Hankel, que la nouvelle Géométrie est précisément celte roule royale. Elle a ré- ,^r' vêlé le lien organique qui rattache les unes aux autres les formes les plus variées de l'étendue; elle a presque atteint dans ce sens /^/\ idéal de la Science.

Après la renaissance du xvie siècle, la spéculation géométrique resta d'abord stationnaire dans le cadre des méthodes anciennes, et il ne fallut pas moins que l'impulsion décisive de Desargues et de Pascal pour préparer l'avènement de la synthèse moderne .

D'autres sujets, tels que l'Algorithme cartésien, le Calcul infinitésimal et la Mécanique, absorbèrent les dernières années du xvne siècle et la plus grande partie du xvme.

Carnot, le premier, vers 1800, reprit courageusement l'œuvre interrompue de ses devanciers et enseigna l'application des méthodes nouvelles à l'étude de l'ancienne Géométrie. Ses travaux sur la Corrélation des figures de Géométrie, sur la Géométrie de position ( ' ) et surla Théorie des transversales marquent, au com- V mencement de notre siècle, le point de départ des découvertes modernes.

L'œuvre de Carnot, qui peut, à certains égards, être considérée comme la suite des travaux de Simson et de Stewart, est d'ailleurs

(' ) M. L.-Am. Sédillot assure (Notice du Traité des connues géométriques de Hassan /'i'// Haithem, insérée dans le Nouveau Journal asiatique , t. XII, p. ^"îG, Paris, .- mdcccxxxiv), que les Arabes ont connu la Géométri-e de position. Mais dos recherches postérieures ont démontré l'inexactitude de cette assertion. L'Ouvrage de Hassan ben Haithem (ou pour mieux dire de Aboc-Ali-al-Hassan-ben-al-Hassan-ben- al - Haithem ) sur les connues géométriques (Catalogus codicum manuscriptoruni bibliothecœ regia; Paris, 1739; t. I, p. 218-219; mss. arab., n° 1104), cité comme exemple des recherches faites par les Arabes dans cette branche des Mathématiques, ne contient pas, d'après Libri {Histoire des sciences mathématiques en Italie, t. I, 2e édition; p. a/|8, Halle, i865), un seul mot sur ce que les géomètres appellent, depuis un siècle environ, Géométrie de position. En effet, déterminer d'après certaines conditions, comme le fait l'auteur en question, les propriétés et la position d'une courbe, c'est chercher un lieu géométrique, et non pas faire de la Géométrie do position, telle que d'Alembert et Carnot l'ont entendue. Les Grecs, aussi bien que les Arabes, se sont servis du mot position en Géométrie; l'expression donné en grandeur et en position, ou simplement donné de position, se trouve très-fréquemment dans Pappis; mais ces mots ne servaient, chez les Grecs, qu'à éviter les circonlocutions et à abréger les démonstrations.

empreinte de cet esprit généralisateur et facile, puissant et concis, qui caractérise les œuvres de Pascal et de Desargues.

Au temps de Carnot florissait déjà l'école de Monge, dont un des derniers disciples, Poncelet, est à juste titre proclamé créateur de la Géométrie projective proprement dite. Voici dans quels termes Poncelet a formulé le nouveau programme des recherches géométriques ( ' ) :

Agrandir les ressources de la simple Géométrie, en généraliser les coneptionsetle langage ordinairement assez restreints, les rapprocher de ceux

de la Géométrie analytique, et surtout offrir des moyens généraux propres à démontrer et à faire découvrir, d'une manière facile, cette classe de pro/ priétés dont jouissent les figures quand on les considère d'une manière purement abstraite et indépendamment d'aucune valeur absolue et déterminée. »

Quarante ans se sont écoulés entre la première apparition du Traité des propriétés projectives des figures et la publication d'une seconde édition, enrichie de nouveaux Mémoires sur les

Ì centres des moyennes harmoniques, sur la réciprocité polaire, sur l'analyse des transversales et sur les principales applications de ces théories générales aux propriétés projectives des courbes et des surfaces géométriques. Durant cette période, d'autres géomètres éminents, mettant à profit les recherches antérieures de Poncelet, sans rien perdre de leur originalité propre, ont travaillé avec ardeur à faire progresser la Science dans la voie nouvelle où elle était engagée.

/'ï)ans son Rapport sur les progrès de la Géométrie, qui est une sorte de continuation du célèbre Aperçu historique, l'illustre Chasles établit deux principales divisions des travaux géométriques : les uns étant d'Analyse appliquée, les autres de Géométrie pure. Il subdivise ensuite les recherches de Géométrie pure en deux branches : « Les unes, dit-il, se rattachent à la Géométrie ancienne, en y comprenant les considérations infinitésimales directes qui suppléent au calcul analytique et qui ont si puissamment contribué aux progrès de la théorie des lignes et des- surfaces

( ' ) Traité des propriétés projectives des figures, etc., par J.-V. Poncelet. T. I" j édition, p. xxn. Paris, i865.

depuis une trentaine d'années; les autres appartiennent aux méthodes qu'on désigne sous le nom de Géométrie moderne ( ' ).

Les travaux de Géométrie pure moderne, qui ont vu le jour entre la première et la seconde édition de Poncclct, se rattachent eux-mêmes à trois écoles distinctes, à la tète desquelles figurent Irois hommes éminents : Steiner, Chasles et v. Staudt.

Quelques efforts qu'il fasse pour le dissimuler, Steiner apparaît comme un des plus fidèles continuateurs de Poncelet. Des cinq Parties qui devaient composer son OEuvre(-), une seule a été publiée et elle suffit pour justifier la haute renommée du fondateur de la Géométrie moderne en Allemagne. Ses propositions sont si rigoureusement démontrées, si étroitement enchaînées, qu'on/'1 éprouve, à la lecture de son livre, la même satisfaction qu'à l'étude des <7iroi/£Ïa de la. Géométrie ancienne.

Steiner ne s'est pas borné à exposer les propriétés graphiques ou descriptives des figures. L'un des caractères dislinctifs de son QEuvre consiste dans le développement qu'il a donné aux propriétés de grandeur ou de mesure, appelées métriques par Pon-

(') Recueil de Rapports sur l'état des Lettres et les progrès des Sciences en France. — Rapport sur les progrès de la Géométrie, par RI. Chasles, etc.; Paris, mdcc.clxx, p. 5.

,(•') Systematische Entwickelung der Abhàngigkeit groinetrisc/ier Gestaltcn von Atînander mit lier'ùcksichtigung der Arbeiten alter und neuer Geometer ilber Porisnnp) .'{ l'rojeelions-Methoden, Geometrie der Lage, Transt'ersa/en, Dualitiil und Reciprocità >tìn Jacob Steiner. Erster Theil. Berlin, Fi»*e4H*p-L832. La préface de cet Ouvrage co tient le plan complet que l'illustre auteur s'était tracé pour l'exposition, en cinq Partirs, de l'ensemble de ses recherches'. La première Partie contient les principes sur lesquels repose la Géométrie synthétique moderne. La cinquième devait renfermer : cine ausfiïhrliche und umfassende Behaitdlung der Kurven und Flàchen zweiten Grades durch Konstruction und gestùtzt auf projectivische Eigenschaften. On en trouve1 les principaux matériaux dans le Journal fur die reine und angewandte Mathematih de A.-L. CiiELLE, dans les Annales de Mathématiques de Geiu;onne, et surtout dans les leçons que professait Steiner à l'Université de Berlin.

Le Dr C.-F. Geiser, neveu et héritier de Steiner, professeur à l'Institut polytechnique de Zurich, n'a pas voulu que ces leçons orales fussent perdues. Les manuscrits recueillis et complètes par lui et par le Dr E. Sciiroter, professeur à l'Université de Breslau, ancien disciple du grand géomètre, ont été publiés sous les titres suivants: Jacob Steiner's Vorlesungen iiber synthetische Geometrie. Erster Theil. Die Théorie der Kegelschnitte in elementarer Darstellung. Zweiter Theil. Die Théorie der Kegelschnitte, gestiitzt auf projectivische Eigenschaften. Leipzig. Druck und Verlag von 15. -G. 'l'enunci-, 1 8G7 . Une seconde édition a été publiée récemment (i8;G).