POLYGONE ET MULTILATERE PLANS COMPLETS

limitée de toutes parts par n droites qui se coupent, mais le système de n points d'un plan et des n droites (cotés) dont chacune joint deux points (sommets) successifs. Les sommets sont considérés dans un ordre déterminé et soumis à la condition que trois d'entre eux consécutifs ne se trouvent jamais en ligne droite. Le polygone (n-gone) simple peut encore être appelé multilatère\ (n-latèré) simple; par suite, un multilatère est le système de /^droites et des n points d'intersection de ces droites prises successivemenl deux à deux. Le poKgone et le multilatère sont des\ conceptions réciproques : aux lignes de jonction de deux sommets non consécutifs (diagonales) d'un polygone simple correspondent, dans le multilatère simple, les points d'intersection de deux côtés non consécutifs.

23. Outre les polygones et mullilatèrcs simples , la Géoméf trie moderne considère les polygones et les multilalères corn? olets (*), et la loLde dualité n'apparaît pas moins évidente dans ces derniers systèmes. Nous appelons, en effet, d'une manière générale :

Poh gone plan complet, un système ! Multilatère plan complet, un sys-

de n points du plan ou sommets, tèrne de n droites du plan ou cAtrs.

dont trois ne sont jamais sur une dont trois ne passent jamais par un

même droite, considérés ensemble même point, considérées ensemble

n[n — i). n[n — i\ avec les — ! — — droites ou cotes avec les — ■ pomtsou sommets

qui les unissent deux à deux.

n — i cotés se coupent sur chaque

sommet; îlya donc en tout

OÙ elles se coupent deux à deux.

n — i sommets reposent sur cha- < -V

* - -, , " [n — i ) que cote ; il y a donc en tout

. r) Le quadrilatère complet est mentionné pour la première fois par Carnot (De, 'la corrélation des figures de Géométrie. Paris, iSoi, p. 122', qui a été conduit à cette >n en considérant que quatre droites, tracées d'une manière quelconque dans un plan et indéfiniment prolongées, forment trois quadrilatères ayant chacun deux diagonales. Les six diagonales se réduisent effectivement à trois. Car.not a donné le nom de quadrilatère complet à l'ensemble des trois quadrilatères et de leurs trois diagonales, prolongées jusqu'à leurs rencontres réciproques. Steiner (Systematische Entwickelung, etc. Berlin, i83'2) a étendu cette conception à tous les polygones (p. 72) et aux ligures dans l'espace (p. 235).

côtés qui se coupent en

points d'intersection.

Dans le polygone [n-gone) complet, sont contenus 3,4, ■■■-, [>l — 1) polygones simples.

sommets qui sont unis par

n[n — \)[n — ss ) ( n — 3) ^4-

diagonales (').

Dans le multilatère [n-latère] complet, sont contenus 3,4, ■■-, n — 1) m ultilatères simples.

( ') Dans le multilatère complet, chacun des « côtés est coupé par les (« — 1) autres en (n — 1) points, ce qui donnerait n(n — 1) points d'intersection si chaque point n'avait pas été compté deux fois. Pareillement, dans le polygone complet, chacun des n sommets peut être joint aux (« — 1) autres par {n — 1) droites; mais chaque droite

se présente ainsi deux fois. Les on outre être joints par

sommets du multilatère complet pourraient

droites, si chaque sommet ne reposait pas, avec (« — 2) autres, sur l'un des n côtés du multilatère complet; mais toute droite menée de l'un des points aux (« — 2) autres, coïncide avec l'un des côtés du multilatère; on a donc seulement

n(n — t) Vi? (n — 1)

PfM ,

droites.

Pareillement, les — — - côtés du polygone complet se couperaient en

n [n — 1 ) Vn {n — 1 )

points, si chaque côté n'en rencontrait pas (« — 2) autres sur l'un des n sommets du polygone complet ; on doit, par conséquent, considérer n — 2 points au moins sur chaque côté, si aucun des nouveaux points ne doit coïncider avec un sommet quelconque du polygone; on aura donc seulement

11 {n — 1) Vu ( n — 1)

points d'intersection.