II. — Multarête et polyèdre complets
21. Il est facile de concevoir les systèmes qui, dans la gerbe, correspondent à ceux du plan. Si Ton projette, en effet, un polygone ou un multilatère complet, d'un point non situé dans son plan, on obtient respectivement un angle multarête ou un angle polyèdre complet ('). Et réciproquement, si Ton coupe un angle multarête, ou un angle polyèdre complet, par un plan qui ne passe pas par son sommet, on obtient respectivement un polygone, ou un multilatère complet.
Nous appellerons donc :
Angle multarête (n-aréte) complet le système de n droites ( arêtes ) dans la gerbe ( c'est-à-dire passant par un même point) et de tous les plans (faces) qui contiennent ces droites deux à deux, trois des n droites ne devant jamais être dans un même plan.
Angle polyèdre [n-èdre) complet le système de n plans (faces) dans la gerbe (c'est-à-dire passant par un même point) et de toutes les lignes (arêtes) suivant lesquelles ces plans se coupent deux à deux, trois des n plans ne devant jamais passer palline même droite.
En particulier :
L'angle quadrarête complet est le système de quatre droites (arêtes) a, b, c, d, passant par un même point, considérées ensemble avec les six plans (faces) qui les contiennent deux à deux.
Les droites d'intersection des faces opposées, bc et ad, en et bd , ab et cd sont les diagonales de l'angle quadrarête.
L'angle tétraèdre complet est le système de quatre plans (faces) a, S, 7, 0, passant par un même point, considérés ensemble avec les six droites (arêtes) suivant lesquelles ils se coupent deux à deux.
Les plans contenant les couples d'arêtes opposées, (3 7 et aS, 7a et P<î, a(3 et 70, sont les plans diagonaux de l'anele tétraèdre.
(') La dualité dans les polyèdres particuliers remonte à une date relativement éloignée. Voir Mauholico (Opusc. mathem. Venetiis, xh-fi, p. io3); Kepler (Barmonices mundi, t. V, p. 1.); Meister (Comw. Gôtting. .7s;,, t. VII, p. 3g.). Gergohne {Annales de Mathématiques, t. XV, p. 167)3 formulé l'expression exacte du théorème général.
