II. — Éléments conjugués

28. Les points B et D, où la droite ABCD est rencontrée par les cinquième et sixième côtés du quadrangle complet, sont séparés (II) l'un de l'autre par les points d'intersection A et C des couples de côtés opposés. On a coutume de dire que les points A et C sont séparés harmoniquement par les points B et D, ou que les points B et D sont séparés harmoniquement par les points A et C; que le segment AC est divisé harmoniquement par les points B et D ou par le segment BD, etc.

Les points A et C sont dits conjugués entre eux; il en est de même des points B et D.

Il est facile de voir que, dans un système de quatre points haiinoniques, on peut opérer la permutation des points conjugués sans que le système cesse d être harmonique ; c'est-à-dire que, si ABCD est un système harmonique, les systèmes ADCB, CBAD,

(') La proportion harmonique était connue de Pytiiagore. Ses propriétés numériques et géométriques sont exposées dans les œuvres des géomètres anciens et spécialement dans les coniques d'ApoLLoms de Perge et dans les œuvres de Pappis (voir Mathematica; collectiop.es Pappi Alexandrini a Federico Commandiuo in latinum conversa' et commentariis illustrata:. Bononiœ, 1660). La construction du quatrième clément d'un système harmonique au moyen de la propriété du quadrilatère complet, c'est-à-dire par la règle seule, se trouve dans le Traité de la Hire {Sectiones conicain novem libi os distributa:. Parisiis, iGSó, I, 20; voir Chasles, Aperçu historique, etc. Bruxelles, 183;, p. iï\). Steiner en a donné le développement complet dans son opuscule intitulé : Die geometrischen Konstructionen ausgefithrt mittelst der geraden Linie und eines festen Kreises, als Lehrgegenstand auf hô.'tcren Unterricllts-Aiistalten und zur praktisclien Denutzung. Berlin, 1 833, §3, 4, 5.

3o GÉOMÉTRIE DE POSITION. — CHAPITRE V.

CD AB le sont aussi. En effet, dans chacun de ces systèmes, les côtés opposés du quadrangle KLMN passent deux à deux par le premier point et par le troisième, et les deux autres côtés ou les diagonales du quadrangle passent par le second point et par le quatrième.

Si l'on mène maintenant, par le point d'intersection Q des diagonales {fig. 7 '), les droites AQ, GQ, on détermine sur les côtés

Fie. 7.

NK, KL, LM et ÎMN, respectivement, quatre nouveaux points S, T, U, \ . Sur les quatre lignes de jonction de ces points, ST, TU, UV, VS, qui doivent être considérées comme secondes diagonaks jd£s çf3adrangles KSQT, LTQU, MUQV et NVQS,~deìrx opposées passent par B et les deux autres par D. Nous avons ainsi obtenu un quadrangle STUV, dont les côtés opposés passent deux à deux par B et D et dont les diagonales passent par A et C. Il s'ensuit que, dans un système harmonique, les deux couples de points conjugués peuvent aussi être substitués V un à l'autre sans que les quatre points cessent d'être harmoniques ; ou que, si ABGD est un système harmonique, non-seulement les systèmes ADCB, CBAD et CD AB sont harmoniques , mais les systèmes DCBA, DABC, BCDA et BADC le sont aussi.