III. — Faisceaux harmoniques de rayons et de plans

29. La proposition du n° 27, qui conduit à la définition de la ponctuelle harmonique, a pour corrélative, dans le plan, une autre proposition qui permet de définir ce qu'on doit entendre par un laisceau harmonique de rayons. On peut arriver au même résultat

FAISCEAUX HARMONIQUES DE RAYONS ET DE PLANS. 3l

en projetant le quadrante complet d'un point pris hors de son plan; on obtient ainsi un an«le qiiajdrarête complet et les quatre points harmoniques sont projetés par quatre rayons harmoniques qui constituent un faisceau harmonique de rayons. Ces rayons jouissent de la propriété d'être coupés, par tous les plans qui ne contiennent pas leur centre, en quatre points harmoniques ; car chacun de ces plans coupe l'angle jmadrarèj^e complet suivant un quadrangle, dont les côtés opposés se rencontrent deux à deux en un couple de points conjugués et dont les deux autres côtés passent par les points de l'autre couple (1).

Les conséquences déduites au n° 28, pour les points harmoniques, sont applicables aux rayons harmoniques.

30. Une proposition corrélative (dans l'espace) à celle du n° 27 conduit à définir les conditions dans lesquelles doivent se trouver quatre plans passant par une même droite pour constituer un faisceau harmonique de plans. Cette forme harmonique peut aussi être déduite de quatre points harmoniques, en projetant ceux-ci d'un axe qui ne soit pas avec eux dans un même plan.

Un cinquième plan quelconque, contenant les quatre points harmoniques, coupe les quatre plans harmoniques, suivant quatre rayons également harmoniques. Le même résultat est fourni par un nouveau plan quelconque, ne passant pas par l'axe du faisceau harmonique de plans ; ce nouveau plan coupe, en effet, les quatre rayons harmoniques, obtenus au moyen du plan sécant considéré tout d'abord, en quatre points harmoniques par lesquels passent ses lignes d'intersection avec les plans harmoniques.

Une droite transversale quelconque, ne rencontrant pas l'axe, rencontre les quatre plans harmoniques en quatre points; un plan transversal mené par cette droite coupe les mêmes plans suivant quatre rayons qui, d'après ce qui vient d'être dit, sont harmoniques. Ces rayons harmoniques passent par les quatre points considérés, qui sont dès lors harmoniques.

(') Les relations essentielles entre la ponctuelle harmonique et le faisceau barmof nique de rayons se trouvent, pour la première fois, dans Carxot, Essai sur la théoriej^" Ss^ transversales. Ces relations furent pourtant en partie connues par les Grecs (voir Pappcs, Mathematica; collectiones, lib. VII, Prop. CXLV).

Projetons un faisceau harmonique de rayons d'un point quel conque, pris en dehors de son plan, et au moyen de quatre plans. Une transversale, tracée arbitrairement dans le plan du faisceau, coupe les rayons harmoniques donnés en quatre points harmoniques; les plans qui passent respectivement par ces quatre points forment donc un faisceau harmonique de plans.

Les démonstrations du n° 28, relatives aux points harmoniques, s'appliquent également aux plans harmoniques.

IV. — Propositions relatives aux sytèmes harmoniques. 31 . Nous pouvons dire en général que :

Quatre points harmoniques sont projetés d'une droite ou axe quelconque par quatre plans harmoniques et d'un point ou centre quelconque par quatre rayons harmoniques.

Quatre rayons harmoniques sont projetés d'un point quelconque par quatre plans harmoniques.

Quatre plans harmoniques sont coupés par une droite transversale quelconque en quatre poi/its harmoniques et par un plan transversal quelconque suivant quatre rayons harmoniques.

Quatre rayons harmoniques sont coupés par uji plan transversal quelconque en quatre points harmoniques.

32. De la proposition du n° 27 on peut encore déduire l'énoncé suivant : Dans tout quadrangle complet, deux côtés coucourant en un point diagonal sont séparés harmoniquement par les droites qui joignent ce point diagonal aux deux autres.

De la proposition corrélative (dans le plan) à celle qui vient d'être citée on déduit cette autre :

Dans un quadrilatère complet, chaque diagonale est divisée harmoniquement par les deux autres (*).

(') On trouve dans Pappes {Mathematica' collectiones, etc., lib. VII, Prop. 21 ) une proposition inverse île ce théorème ancien, qui a été reproduit plusieurs fois, notamment parGniicoiRE de Saint- Vincent (Opus geometricum, i <>/|7, p. G, Prop.X), par LaHire 'Sectiones conicœ, etc., i685, t. I, p. 20), et plus récemment par Carnot (Géométrie de position. Paris, i8o3, n° 2'2ô). La même construction a été appliquée par \ w Schooten (Exercitationum mathematicarum lil>. II. Lugd. Batav., p. 160-162) pour