XVI PREFACE

depuis 1846. Leur influence a été telle, qu'on en reconnaît la trace dans presque toutes les productions des jeunes géomètres français.

L'autorité du nom de Chasles suffirait au besoin pour justifier le titre de Geometrie supérieure que l'histoire de la Science a déjà consacré à la doctrine du grand géomètre, et l'on objecterait en \ain que, si cette doctrine a pu paraître tout d'abord très-élevée

véritablement supérieure, elle a été vulgarisée depuis, au point de trouver place dans les Traités élémentaires de M. Amiot, de MM. Rouclié et de Comberousse, de M. Schrader et de divers autres

ours (' ).

Les travaux de Staudt diffèrent essentiellement des recherches de Steiner et de Chasles. Ils ne traitent que des rapports de posi-\ V lion des formes géométriques; les propriétés métriques des figur^sr en sont exclues.

Staudt semble avoir lui-même indiqué le titre propre à caractériser sa méthode, quand il a écrit, dans la Préface de son Œuvre magistrale (-) : « J'ai tenté de faire de la Géométrie de posilioji une science indépendante de toute considération de grandeur. » / Cet esprit créateur ne s'est pas borné à étendre, par ses propres

recherches, les limites de la science géométrique ainsi définie; il a ussi coordonné les travaux de ses devanciers en un ensemble barri eux e t homogèû^' S a méthode présente d'ailleurs de précieux i'tages au point de vue de l'enseignement. L'exclusion systématique du calcul et l'invention d'une nouvelle voie pour la démonstration des propriétés métriques ont conduit Staudt à dégageix dans toute sa pureté et dans toute sa généralité, cette loi de duafr lit*' si importante et si féconde, si propre à développer chez le/ yélèves l'habitude des efforts personnels et le goût des recherchas '•originales. Le mérite d'un tel progrès ne peut être revendiqué par aucune des méthodes appliquées à l'étude des relations de

(*) L'OEuvre de Chasses comprend, outre les Ouvrages déjà eilés, le Traité des sections coniques, tes trois livres de porismes d'Euclide , rétablis d'après la Notice et les lemmes de Pappus, et de nombreux Mémoires, très-riches en précieux matériaux pour l'étude géométrique des courbes et des surfaces.

(') Geometrie der La«e} von D«" G.-K.-C. vos Staidt. Nûrnberg,>g8£2^^ Beitràge zar Geometrie der "Cage, von Dr K.-G.-C. von Staudt. Nûrnberg, iS36-i8Go.

grandeur; cela tient surtout à ce que la loi dejiuaJLLtgj. qui domine / toute la Géométrie de position, n'intervient pas, en général, dans ^""" la Géométrie de la mesure.

y^On doit reconnaître, toutefois, que la vérité géométrique es f présentée par Staudt sous une forme particulièremenj abstraite e philosophique. Son Œuvre se distingue par une grande recherché ^expressions , par un laconisme excessif et par la suppression'''' \<>ulue des figures ('). 11 se borne à exposer les propositions les plus générales, laissant au lecteur le soin de les développer et de les appliquer. Il est trop aride pour les commençant-. Vussi, quelque admirateur que nous soyons de TOEuvre de Staudt, devons-nous nous associer, dans une certaine mesure, au jugement suivant qu'un géomètre allemand en a porté :

« Cette Œuvre, écrit Hankel(2), classique dans sa singularité, est une^ grande tentative faite en vue de soumettre la nature, dont l'essence est dise manifester sous mille f»™^ vm-ipp^ ;( Punifnunitp dVifl-uMbé"™1;!** abstrait et systématique/Une telle tentative n'était possible qu'en Allemagne, pays des méthodes scolastiques et, ne us pouvons ajouter, de la pé- l danterie scientifique. Certes, les Français n'ont pas moins fait que les

aiands pour les sciences exactes; mais ils prennent leurs moyens d'in- 3ration partout où ils les trouvent; ils ne sacrifient pas l'évidence au me, la facilité des recherches à la pureté des méthodes. » Replié en lui-même, dans sa paisible retraite d'Erlangen, Staudt a bien pu développer un système scientifique, pour sa propre satisfaction et pour celle d'un ou deux auditeurs qui venaient s'asseoir, par aventure, à côté de sa table de travail ; mais la création d'un tel système n'aurait pas été passible à Paris, au contact des autres savants et des auditub-eS nombreux. »

", L'exposition de la Géométrie sans le. secours des. figures était familière ; dous. Brahhegcpta, dans son Ouvrage célèbre {Algebra, with Arithmetic an Mensuration , -froiff the sanscrit of Brahmegupta and Bhascara. translated by Henry-Thomas Colebrooke; London, 1817, a fait connaître quelques expressions de leur nomenclature mathématique, dont ils faisaient un très-heureux usage pour (fooncer les théorèmes sous une forme, concise et^nn? iffmiMMi» «imi tì[jup«i.. Ces. '" expressions, au jugement de Chasles , donnent à la Géométrie des Hindous unjL^-^"

lut;

^caractère de généralité qui manquait souvent à celle des Grecs {Aperçu Idstoriqi Bruxelles, 1 8.37. et Paris, 1875, p. '|2t\

(5) Die Elemente der projectivischen Geometrie in sjnthetischer Behandlun". Yorlesungen von Dr Hermann Hankel. Leipzig, 1875, p. 3o-3i.

L-- La Géométrie de Staudt est précisément celle que Culmann suppose connue de ses lecteurs ( ' ).

Un très-grand nombre de propriétés géométriques peuvent être démontrées, soit à l'aide de tracés purement théoriques, grossièrement effectués, soit même sans le secours d'aucune représentation matérielle. Dans l'un et l'autre cas, la pensée supplée à l'absence des ligures ou à leur imperfection. Mais cette imperfection ne peut plus être tolérée quand on demande à la Géométrie des résultats d'utilité pratique. Il faut apporter alors autant de netteté que de rigueur dans le tracé des lignes, dans la détermination des intersections, dans le relevé et l'application des mesures; il faut, en un mot, s'approcher autant que possible de cette perfection absolue qui est l'essence des conceptions et des démonstrations géométriques (-).

L'art du dessin conduit à ce résultat.

Le dessin est le langage de l'ingénieur. Il traduit sa pensée avec une clarté que le langage ordinaire ne comporterait pas. L'ingénieur dessine d'abord tout ce qu'il se propose de faire exécuter. 11 lixe et conserve ainsi la forme sensible de ses idées, le résultat de ses calculs et jusqu'à la trace utile de ses tâtonnements. Il n'attend pas d'ailleurs que ses calculs soient achevés pour en commencer la traduction graphique. Les deux opérations marchent ordinairement de front, et c'est souvent au cours même de l'exécution du dessin qu'apparaît la nécessité de déterminer par le calcul les dimensions de certains organes. Il s'en faut, d'ailleurs, que l'utilité du dessin se borne à l'enregistrement passif des résultats calculés, et il n'est pas rare que l'épure fournisse directement des données pour le calcul, ou même des résultats susceptibles dune application immédiate.

L'idée de soumettre à des règles uniformes ces opérations com-

(') Nous indiquerons plus loin les règles que nous avons suivies dans la rédaction de la partie purement géométrique du présent Ouvrage. (*) Voir Gocsinery, Le calcul par le trait, etc. Paris, i8'|0. Avertissement

binées de calculs et de tracés devait nécessairement se faire jour; elle a été accueillie avec une faveur très-marquée, grâce surtout au récent développement des études géométriques (').

Les premières origines du calcul graphique se confondent a^cc celles des représentations graphiques, considérées dans le sens spécial que les modernes attribuent à cette expression. II faut ■ chercher ces origines dans l'Arithmétique des l'\ tliagoricieiis ; dans le cinquième Livre des Eléments d'Euclide, où la théorie des proportions est amplement exposée et où il est fait usage des droites comme de symboles ; dans les propositions 27 et 28 du Livre VI des mêmes Eléments ; dans les propositions 58, Sg, 84» 85, 86 et 87 des Données d'Euclide; enfin, dans les nombreuses soTûtions mécanicographiques que les mathématiciens grecs nous ont transmises des fameux problèmes de la duplication du cube cl de la trisection de l'angle. On peut suivre le développement continu des méthodes graphiques, après les Gx^ecs, chez les Hindous dans Brahmegupta et dans Bhascara, chez les Arabes dans les écril> de Mohammed-ben-Mousa, d'Aboul \\ efa, d'AJboul Djoud, d'Ai- /^lîiahani, d'Alqouhi, d'Alhazen et d'Omar Alkhàvyâmi, 1q grand constructeur des équations cubiques: Cultivées en Italie, après la décadence des Arabes, les méthodes -graphiques y devinrent florissantes avec Leonardo Pisano et Luca Pacioli; elles empruntèrent de nouvelles forces à l'analyse géométrique de Tartaglia et de Cardano, et ce ne fut pas sans ajouter à sa gloire que Viète les appliqua à la représentation figurée des formules. Ces méthodes, qu'un certain nombre de contemporains n'ont pas jugées dignes de l'attention des savants, furent tenues en grand honneur par Descartes, et Newton, dans le temps même où il dotait le monde dir-plus puissant mo^en de recherche analytique, ne dédaignait

(') Ueber dos Verhàltniss der Arithmetik zur Geometrie, von H. Scheffllk.j Piraunschweig, i3^6. — Die Anwendung der Geometrie a/if Arithmetik und Algebra^, • enthaltend die wichtigstcn Lehrsàtze der Arithmetik durch geometrische Construction/:/ dargestellt, von Dr W. Berrhan. Halle, 1861. — liciti âge zur Lehre der universelle// Summiru/ig von Strecken d. i. ihrer Aneinanderfùgung mittels Parallelverschiebuug, von Dr Wilhelm Matzka (Aus den Abhandlungen der K. bohrn. Gesellschaft der Jlisseuschafteu. \'I° série, 2 Band j. Ping, 1868.— Geometrisk Kalkyl eller geometriskn qvantiteters ràknelagar af Coran Dillner (Upsaia Vetenskaps Societets Arsskrift, j8Gi ; Tidsskrift for Matematik och Fysik, 1868-1870). — Traité de calcul géométrique supérieur, par Goran Dillner. Iro Partie. Upsal, 1873. Etc.

PRKF.VCE.

pas d'y recourir et de mettre à profit des procédés qui étaient déjà depuis dix-neuf siècles dans le domaine de la Science ( * ).

Nous pourrions encore citer, depuis le Traité de gnomoni// its de la Hire (1682) jusqu'à la Géométrie descriptive de Munge ( f 788 ), d'innombrables exemples de déterminations et de représentations graphiques appliquées, par des savants en renom, aux opérations du calcul numérique.

Quelque ancienne, toutefois, que soit l'origine des méthodes graphiques, il ne faut pas moins reconnaître tous les caractères de la nouveauté aux applications pratiques qui en ont été faites depuis un siècle.

Nous devons, dans cet ordre d'idées, signaler comme particulièrement digne d'attention une disposition contenue dans l'article 19 de la loi du 18 germinal an III de la République française. Cette disposition prescrivait la construction ^échelles métriques propres à établir sans calcul les rapports entre les nouveaux poids et mesurej et les anciens. Pouchet rédigea, à cette occasion, son Arithmétique linéaire (2), ouvrage très-peu connu, bien qu'il soit de la plus haute importance au point de vue historique. L'expression de calcul graphique y est employée pour la première fois, et les germes essentiels de ce calcul s'y trouvent contenus^' ainsi qu'on en pourra juger par quelques extraits :

« L'Arithmétique linéaire consiste à résoudre, sur des lignes, les problèmes pour la solution desquels on se sert ordinairement des chiffres. Les lignes, tirées suivant différentes directions, forment, à cet effet, un tableau graphique pour l'usage duquel il n'est pas de rigueur de savoir ni lire ni

écrire L'avantage du calcul graphique est la faculté d'opérer avec

promptitude et sans nécessité dé plume, papier ni encre, puisqu'il présente, en quelque sorte, une Table universelle de comptes faits, pour l'intelligence

(' ) Pour l'étude complète et la bibliographie des méthodes graphiques depuis leurs plus anciennes origines, consulter les Notizie storico-critiche sulla costruzione delle equazioni, per Antonio F AVARO. Modena, 1878.

{■) Échelles graphiques des nouveaux poids, mesures et monnaies de la République française, par Lol'is-E. Pocchet. Seconde édition. A Rouen, de l'imprimerie de P. Seyer et Behourt, an IV de la République. — Métrologie terrestre, ou Table des nouveaux poids, mesures et monnaies de France, etc., par Loris-E. POUCHET. Nouvelle édition. A Rouen, de l'imprimerie de V. Guilbert et Herraent, an V de la République française (MDCCXCVlF, v. st). Nous relevons, à lapagevij de la préface, que la présente édition est la troisième.

de laquelle il suffit de savoir compter les lignes.... La critique ne manquera pas de reprocher à mon système un défaut de précision : il n'en est

susceptible qu'autant que le comportent les opérations du compas

Mais cette méthode pourra servir en mille occasions où l'on se contente

d'avoir, à très-peu près, la solution de ce que l'on demande Cette

Arithmétique linéaire peut devenir universelle comme le calcul ordinaire, ainsi que cela sera démontré par les applications que j'en ferai dans la suite de cet Ouvra y e ('). «

Le second Ouvrage de Pouclict ( Métrologie terrestre, etc.) marque les progrès réalisés par ce savant dans le développement de sa conception. Les Tables qu'il contient s'appliquent, en effet, non-seulement aux quatre premières opérations de l'Arithmétique, mais encore à l'élévation à la seconde puissance et à l'extraction de la racine carrée. Pouchet mérite donc d'être cité parmi les précurseurs des modernes applications de la méthode graphique. Nous devons toutefois regretter, avec M Lalanne (2), qu'il n'ait pas saisi dans toute sa généralité le principe sur lequel son heureuse idée repose implicitement. Les hyperboles de ses Tables sont pour lui le résultat de la variation d'un produit de deux facteurs, et rien n'indique qu'il les ait considérées comme projections des lignes de niveau d'un hvperboloïde à une nappe. "Pouchet n'eut pas à un degré suffisant cette forte éducation géométrique qui, seule, aurait pu donner à ses idées toute l'étendue dont elles étaient susceptibles.

(') Il est certain que, en dehors des travaux précités, Pouchet s'est livré à d'autres études graphiques. Nous lisons, en effet, ce qui suit dans la Notice sur Louis-Ézéchias Pouchet, etc., par -Felix-Archimede Pouchet (Rouen, 1866; p. 34) : « Vers 1788, entraîné par ses tendances spéciales, il produisit un Tableau astronomique de la durée de l'année, sur lequel d'ingénieuses et multiples combinaisons de lignes indiquaient la durée des saisons, des mois et des journées; de grandes ombres y exprimaient même l'intensité du crépuscule. Ce Tableau, d'un remarquable fini, fut présenté à l'Académie des Sciences et valut à son auteur les plus flatteurs éloges de la part de ses Membres et, en particulier, de l'astronome Lalande. » Le biographe, fils de l'auteur, ajoute à ce sujet dans une note : « J'ai vu ce Tableau astronomique dans ma jeunesse; c'était une belle et grande gravure, exécutée au burin, et dont la complication des lignes annonçait un ouvrage de longue haleine. »

( '- ) Mémoire sur les Tables graphiques et sur la Géométrie anamorphique appliquée à diverses questions qui se rattachent à l'art de l'ingénieur, par M. Léon Lalanne, dans les Annales des Ponts et Chaussées, 2e série, 1846, ier semestre, p. 63. M. Lalanne est le premier, croyons-nous, qui ait appelé l'attention des savants sur les travaux de Poichet.

C'est, en effet, sur les .théories géométriques les plus générales et les plus rigoureuses que les principes du calcul graphique ont été altèri e tire men t établis . La convention des signes appliquée aux lignes par Kisiner, aux aires par Meister, l'addition des points enseignée par Miibius, les imaginaires judicieusement introduites, telles sont les principales notions théoriques sur lesquelles ont pu se fonder les méthodes géométriques de calcul qui constituent les préliminaires de la Statique graphique proprement dite.

Notre cadre restreint ne nous permet pas d'exposer la longue suite des recherches qui ont déterminé le développement et la propagation de ces méthodes. Il nous est cependant impossible de passer sous silence le remarquable ouvrage publié en France par Cousinery (1839). Si l'auteur s'était trouvé par ses connaissances théoriques au niveau de cette merveilleuse époque, qui vit briller, dans son propre pays, Poinsot, Cauchy, Briancbon, Dupin, Poucelet et Gbaslcs, les applications géométriques auraient, grâce à lui, conquis vingt ans plus tòt l'universelle faveur qui leur est acquise aujourd'hui. Mais le calcul par le trait, qui fait tant hoH^neur à Cousinery, se ressent trop d'une insuffisance générale de baute culture géométrique et montre combien l'auteur est loin i d'avoir tiré tout le parti possible des découvertes de ses contemporains.

Culmann reproche surtout à Cousinery d'avoir cherché péniblement la base géométrique de son Traité dans la perspective, quand il était si naturel d'invoquer simplement les principes déjà établis de la Géométrie moderne. Cousinery paraît avoir succombé, eu cela, au désir de développer et d'appliquer les méthodes (tivsdi versement appréciées) ( '.) de sa Géométrie perspective.

Les notions exposées par Cousinery, à un point de vue essentiellement pratique, n'en sont pas moins dignes d'un très-vif in-

(') Aperçu historique, etc., par M. Ciiasles. Bruxelles, 1837, p. 19ÌI-197. — Truite des propriétés projectiles des Jlgures, etc., par J.-V. Ponili. i.t. T. I, 2" édition. Paris, i865, p. 4l2. D'après FlEDLER {Die darstellcude Geometrie. Eia Grundriss fur T'orlesungen an technischen Hochschulen und zum Selbststudium. Leipzig, 1871, p, 58 1 ), les principes fondamentaux de la Géométrie perspective, de Cousinery, se trouveraient exposés dans un ouvrage publié par Lambert sous le titre : Die freie Perspective oder Anweisung jeden perspectU'ischen Aufriss von freie n Stiïchen und oline Grundriss zu verfertîgen. Zurich, 17ÓC).

PRÉFACE. Wlll

lérèt, et Culmann lui-même, malgré ses juslcs critiques, a pris le Calcul par le Irait connue base de sa première Section.

De (lousinerv à Culmann, aucun auteur ne s'est consacri'' à l'étude du Calcul graphique proprement dit. Culmann cite cependant quelques exemples tirés de la pratique dr> ingénieurs, notamment le procédé de Bruckner pour la détermination des mouvements de lerre ( ' ).

Les principes du Calcul graphique ne soni pas seulement d'une très-grande utilité dans les applications pratiques aux-

f quelles ils se prélent si bien. On en peut tirer aussi de grands avantages dans l'étude d'un grand nombre de qiipsUnqs théoriques, et, à ce titre, ils méritent toute l'attention des hommes voués aux recherches de pure science. Nous avons déjà cité le remarquable travail de M. Lalanne surla Gréomctrie ananiorph^pjM La représentation graphique des fonctions, la résolution graphique des équations (-), l'étude géométrique des polynômes entiers et rationnels, la résolution des problèmes de Trigonométrie plane el sphérique,la différentiation et l'intégration graphiques, constituent autant de sujets d'application, autant de moyens d'investigation, dont la Science a été enrichie par l'introduction des nouvelles méthodes.

La Statique graphique ne doit pas être confondue avec la doctrine scientifique connue depuis longtemps sous le nom de Sta-

é) Il convient -de citer aussi l'Ouvrage, trop peu connu, île Berkiian {Die A7î^% lung der Geometrie au/ Arithmetik nini Algebra, enthaltend (lie wichtfgsteii sàtze der Arithmetik uud Algebra durch geometrische Constructionen dargestelity ~mit~Amveisung, auf Dr JF'iegand's Lehrbuch der Arithmetik von Dr AVilh. Berkiian. (Halle, 1S61. Voir en particulier p. i-'|8).

(*)Nous devons nous borner à faire ici mention d'une Notice très-intéressante, tout récemment publiée par M. Lalanne sous le titre suivant : Méthodes graphiques pour l'expression des lois empiriques ou mathématiques à trois variables, avec des applications à l'art de l'ingénieur et à la résolution des équations numériques d'un degré quelconque. Résumé historique extrait des notices relatives aux travaux des Ponts et Chaussées, publiées par le Ministère des Travaux publics- à l'occasion de l'Exposition universelle de 1S7S. Paris, Imprimerie nationale, 1878.

Nous aurons, au cours de nos Leçons, plus d'un emprunt à faire aux travaux de M. Lalanne, et nous en donnerons, à la même occasion, une bibliographie plus com- 1 lète.

tique géométrique. 11 n'existe cependant pas entre les deux méthodes une ligne de démarcation tellement tranchée qu'on les puisse distinguer nettement, en opposant deux définitions précises l'une à l'autre. On pourrait même dire, d'une manière très-générale, que la Statique géométrique comprend l'ensemble des applications de la Géométrie à la résolution des problèmes de Statique , et une définition ainsi étendue embrasserait évidemment les applications qui font l'objet spécial de la Statique graphique.

Mais on est convenu de réserver le nom de Statique graphique. à toute une catégorie de recherches récentes, qui constituent un corps de doctrine désormais bien coordonné et qui, prises dans leur ensemble, sont caractérisées par la double condition de mettre en œuvre les procédés constructifs du Calcul linéaire u graphique, et de reposer sur la relation fondamentale qui existe entre le polygone des forces et le polygone funiculaire.

Le domaine de la Statique graphique étant ainsi, non pas rigoureusement défini, mais indiqué, on convient de désigner sous le nom de Statique géométrique l'ensemble des autres applications de la Géométrie, et plus particulièrement de la Géométrie ancienne, à la Statique.

On peut dire encore, à certains égards, que la Statique graphique est à la Statique géométrique ce que la Géométrie descripli\e est à la Géométrie ordinaire, et que, si la Statique géométrique a été jugée plus propre à la déduction géométrique des loij^j^ul régissent l'équilibre des corps, la Statique graphique convient plus spécialement à l'invention et à la mise en pratique des métltodes qui permettent de résoudre, par la construction d'épurcs, les problèmes de Statique se rapportant à l'art de l'ingénieur.

11 est à remarquer d'ailleurs que si, par une sorte d'action réflexe, la Géométrie descriptive a contribué souvent aux progrès de la Géométrie pure, la Statique graphique n'a pas été sans exercer une inlluencc très-favorable sur les plus récents développements de la Statique géométrique.

Simon Sleviu [De Beghinselen (1er M agkonst, 1 586) a été l'un des principaux initiateurs de la Statique géométrique. C'est ;'i lui qu'on doit l'idée de représenter les forces, en grandeur et en direction, par des droites. Celle innovation lui a permis d'établir

son théorème fondamental sur l'équilibre de trois forces concourantes respectivement parallèles et proportionnelles aux trois côtés

d'un triangle.

Le parallélogramme des forces, introduit par Newton, marque un nouveau progrès. Galilée, Descartes, Roberval, Mersenne et Wallis avaient, à la vérité, déjà indiqué, dans certains cas particulier.^, la composition de deux vitesses; mais le principe général n'a élé bien établi que par Newton, dans ses Philosophiœ naturalis principici matlwmalica.

Varignon a donné, vers le même temps, dans son Projet d'une nouvelle Mêchanujue, l'énoncé géométrique d'une propriété qui est, en substance, le tbéorème fondamental de la tbéorie des moments ( '). 11 a repris et développé plus tard ce tbéorème sous une autre forme, dans les Mémoires de V Académie des Sciences de Tan née 171 9 et dans sa Nouvelle Mécanique posthume (2). Aucun ouvrage n'est plus digne de fixer notre attention que ce dernier Traité, dont la donnée, purement géométrique, reste tout à fait indépendante des recberebes de Newton. Varignon y enseigne à

instruire, dans le cas des forces parallèles et dans celui des forces «distribuées d'une manière quelconque sur un plan(3), le polygone des forces et le polygone funiculaire, ces deux puissants jnstruments de la moderne Statique graphiquec II détermine, dans les de^Ccas, la résultante d'un système donné de forces, en prolongeant les cotés extrêmes du polygone funiculaire (■* ). 11 considère enfin d'une manière spéciale, dans ces diverses constructions, le

(') Projet d'une nouvelle Méchanique. Paris, 1687, p. 109. Il convient de remarquer ici que ce théorème était connu en Italie un siècle avant Vamgnon. On lit, en eiïet, ce qui suit dans un ouvrage de Jean-Baptiste Benedetti (Diversamm speculatiomun mathematicarum et physicarum liber. Taurini, i585, p. l'|3) : « Quod quantités cuiuslibet ponderis, aut virtus moyens respectu alterius quantitatis cognoscatur beneficio perpendicularium ductarum a centro librai ad lineam inclinationis. » Benedetti fâTTété conduit à ce résultat par ses recherches sur l'équilibre du levier recourbé, {iie-stion qui avait embarrassé un si grand nombre de géomètres.

('') A 'omelie Mécanique ou Statique dont le projet fut donné en MDCLXXXVII. Ouvrage posthume de M. Varignon, etc. A Paris, chez Claude Jombert, MDCCXXV. T. I, p. SI, 91, 3 i-I, 3iG, 317, 38o, 383, 384, ct *■ ,r> P- ,53> etc- Nous devons exprimer ici nos remerciments à M. Ed. Dewtlf, chef de bataillon du Génie, pour les intéressants relevés bibliographiques qu'il a bien voulu nous communiquer.

(3) Nouvelle Mécanique, etc. T. I, p. 191-193.

(4) Nouvelle Mécanique, etc. T. I, p. 198-201.

XXVI PItKF.VCE.

édgfèAimhe où, le nombre des côtés du polygone funiculaire deveii;inl infiniment grand, ce polvgone*se transforme lui-même en un.' courbe ( ' ).

Notre bui n'étanl pas de faire ici un historique compiei des recherches qui se rapportent à la Statique géométrique, nous nous bornerons à citer encore, à raison de leur importance, les travaux de Munge, de Poinsot, de Cliasles et de Mijbius.

Poncelet a fait usage des lignes pour la résolution d'un trèsgrand nombre de problèmes de Mécanique; mais la plupart de ses constructions ne sont pas directement graphiques : elles sont plutôt la traduction en langage géométrique d'expressions préalablement déduites de l'analyse. Les inconvénients de cette méthode apparaissent immédiatement. Il est peu aisé de retenir et d'appliquer des constructions basées sur des formules dont la détermination analytique échappe souvent à la mémoire. Quand on emprunte, au contraire, une charpente linéaire aux données mêmes de la question, le simple développement géométrique de la ligure primitive conduit tout naturellement au résultat.

-—Personne, assurément, ne comprit mieux que Poncelet lui-même [a supériorité de la méthode directe, fondé:»' sur la pure Géométrie. L'illustre savant occupait depuis plus de dix années la chaire de Mécanique à l'École d'application de Metz, quand on le vit se livrer aux spéculations géométriques avec une ardeur toute mmrclle. Il sentait bien que ses recherches dans cette voie ne manqueraient pas de tourner au grand profil de la Mécanique industrielle, qu'il venait de créer et dont il avait déjà su faire une véritable science. Les diverses branches de l'art technique avaient fait éclore des théories imparfaites, qui conduisaient, par de longues et pénibles recherches, à autant de solutions distinctes que la pratique présentait de cas particuliers. C'est [tour suppléer à l'imperfeclion et à l'insuffisance de ces théories que Poncelet s'appliqua à résoudre géométriquement les questions relatives à la science de

(') Nouvelle Mécanique, etc. T. I, p. mj^, 19"), aoi, 202. Voir, pour l'appréciation des mérites de Varignon, Chasles, Aperçu historique, ole Bruxelles, 1S37, p. 5|5. — Poncelet, Applications d'Analyse et de Geometrie, etc.fParis, 186.^, t. Il, p. 181. — Hoir, Cours de Mécanique et machines, professé à l'Ecole Polytechnique. V fase. Paris, 18G8, p. 1 0 S— 111. — DCniUXG, Kritische Geschichte der allgemeinen Principiai der Mechanik. Zweite Auflage. Leipzig. 1877, P- t38— 1^3.

PREFACE. XWIl

l'ingénieur. Quelques ailleurs assurent même qu'il fut le premier à l'aire usage du polygone funiculaire pour la détermination des centres de gravité ( ' ^HrheSl très-désirable qu'une lumière complète vienne dissiper les doutes qui subsistent au sujet de celte importante application. Aucune autre recherche de Poncelet ne se rattache aussi étroitement à la Statique graphique.

Nous pouvons nous montrer plus affirmatifen parlant des études de Lamé et Clapevron sur les polygones funiculaires. Personne, que nous sachions, n'en a signalé jusqu'ici la haute importance pour l'histoire de la Statique graphique. Ces études ont été publiées dans une Revue de Saint-Pétersbourg, à l'époque où les deux savants français étaient au service du Gouvernement russe ('-).

les contiennent, non-seulement une théorie étendue et côrà- , tée des polygones funiculaires, mais encore là construction de ces polygones, considérés dans leurs rapports avec les polygones des forces, et des indications très-explicites touchant les multiples applications pratiques de celte construction ; elles contiennent aussi, sur le calcul graphique des moments, des notions qui ne dif-

(') Ci'lmann a expressément affirmé ce fait dans les termes suivants: « £/• (Poncelet) liât zuerst zur Ermittlung von Schwerpunkten dos Seilpoljgon, dièses fundamentale Hùlfsmittcl der graphischen Stati/i, angesvendet, und :war noch an der Artillerieschule in Metz, also vor 1^07, in welchem Jahre cr bereits sc/ion in Paris wirhte. » [Die graphîsche Statik. Zweite Auflage , Erster Band. Zurich, 1870, p. vin.) Nous n'avons trouvé dans les écrits de Poncelet aucune preuve directe et positive à l'appui de cette assertion. On passage des Applications d'Analyse et de Géométrie (t. II, Paris, 186^, p. 182) pourrait, à la vérité, faire supposer que l'illustre géomètre s'est occupé de la question ; mais on a quelque peine à s'expliquer qu'après l'avoir complètement résolue il ne l'ait invoquée dans aucun des cas où l'application eu aurait pu être faite avec de grands avantages. Les savants français à qui les œuvres t! • Poncelet sont le plus familières inclinent à p"""»»- que i-i ,py^rri4t4 ^"iij ,j| q'^oi' —

exposée dans les levons de la Sorbanne. Nous n'en trouvons cependant aucune trace dans les rédactions qui nous ont été communiquées. Mous sommes donc en présence d'une sorte de tradition, qui se trouvera sans cloute confirmée au cours de I i publication des œuvres de Poncelet, entreprise avec tant de sollicitude et de succès par ÀI. Kuetz.

(*] Mémoire sur la construction des polygones funiculaires, par MM. les lieutenantscolonels Lamé et Clvpeyron, dans le Journal des voies de communication, Saint- Pétersbourg, décembre |8>G, n° G, p. 35-47.— Mémoire sur les polygones funiculaires, par MM. les lieutenants-colonels Lamé et I'lapeyron, dans le Journal des voies de communication, Saint-Pétersbourg, janvier 1827, n° 1, p. j.î-jf>.

XXVIII PRLFACE.

fèrent en rien de celles qu'on expose aujourd'hui dans les Traités de Statique graphique.

Cousinery occupe aussi une place importante parmi les savants qui se sont appliqués à la solution des problèmes de stabilité par les procédés du Calcul graphique. Il a consacré à cet ordre de recherches une Section entière de son Calcul par le trait. Supposant, toutefois, que les notions élémentaires de Statique étaient connues de ses lecteurs par le Traité de Monge, il s'est abstenu de les exposer et a perdu ainsi l'occasion de les interpréter dans un sens plus strictement graphique que géométrique. Quelques considérations générales préalables permettent cependant de saisir le lien qui rattache le nouvel argument aux principes du Calcul graphique.

« Dans les éléments de Statique, remarque l'auteur, les forces sont invariablement représentées en grandeur linéaire; tandis que, pour résoudre les problèmes qui composent la présente Section, nous aurons fréquemment occasion de les considérer comme représentées par des grandeurs superficielles, et l'on conçoit qu'il pourrait arriver telle circonstance ou il convint de les représenter par des grandeurs cubiques. Les considérations développées dans les précédentes sections (Calcul graphique) justifient suffisamment l'emploi de ces moyens divers de représentation, puisque nous serions toujours libres d'exprimer linéairement ces grandeurs cubiques ou superficielles, ce qui ramènerait la représentation des forces à la forme spécialement consacrée par les éléments de Statique.

» En conséquence, pourvu que nous ne perdions pas de vue les conditions qui lient chaque foire à son signe représentatif, nous serons libres d'employer celui de ces signes qui se prêtera le mieux; au genre de démonstration que nous aurons adopté. Il convient de rappeler encore, à ce sujet, que, dès que l'on représente une force par une surf ice ou par un cube, la direction dans laquelle cette force agit passe nécessairement par le centre de gravité de l'ensemble superficiel ou cubique qui lui correspond.

» ... Quand deux surfaces pesantes, c'est-à-dire donnant la mesure d'une iorce, agissent aux extrémités des bras d\\n même levier, pour qu'il y ait équilibre entre elles il fuit, comme on sait, que chaque surface multipliée par le bras correspondant donne un produit identique , ce qui revient à dire que les cubes qui auraient ces surfaces pour base et ces bras de levier pour hauteur seraient équivalents entre eux. Donc, dans i\n même parallélépipède rectangle, chaque face prise pour force et chaque hauteur correspon-

PRiiFAor:.

dante prise pour bras de levier donneront des moments égaux; et, de plus, cette égalité de moments ne cessera pas d'exister dans tous les changements rectangulaires que le parallélépipède pourra subir tout en conservant le même volume. Quand les forces seront représentées en grandeurs linéaires, l'égalité des moments se réduira, par une raison semblable, à une équivalence de surface"( '). »

Telles sont les considérations dont Cousinery s'est inspiré pour résoudre graphiquement divers problèmes de Statique. Nous les avons reproduites dans tout leur développement parce qu'elles marquent l'originalité de la source à laquelle Culmann a puisé.

Nous ne pouvons pas terminer cette revue rapide sans reconnaître les titres d'un autre savant français qui doit être compté au nombre des précurseurs de l'illustre professeur de Zurich : nous voulons parler du capitaine Miehon. S*on enseignement, tout à fait conforme à l'esprit des méthodes de la Statique graphique, présente la . première application directe des propriétés du pohgnnc des forces et du polygone funiculaire à l'étude de lu stabilité des voûtes el des murs de revêtement i - .

Saint-Guilhem , Mérv et beaucoup d'autres ont aussi donné, avant Culmann, d'intéressantes solutions graphiques de divers problèmes de Statique relatifs à l'art de l'ingénieur; mais leurs recherches, limitées à certaines questions spéciales, n'ont pas eu pour effet de dégager les principes généraux qui auraient pu sciando base à de véritables méthodes.

L'Œuvre magistrale de Culmann se distingue, au contraire, palla généralité des principes et par un esprit essentiellement méthodique-." Culmann a mis en complète évidence les relations qui existent entre le polygone des forces et le polygone funiculaire; il en a déduit sa théorie des moments et un très-grand nombre de

^J^ \\ Le Calcul par le trait, IVe Partie, p. 2i3-2i5.

(5) Instruction sur la stabilité des voûtes et des murs de revêtement, par le capitaine du Génie Michon, professeur du Cours de construction à l'École d'application de l'Artillerie et du Génie. Lithogr. Novembre iS.}3, p. 22, i!\, 2G. — Voir, à ce sujet, YExamen critique et historique des principales théories ou solutions concernant l'équilibre des voûtes, par J.-V. Poncelet, inséré aux Comptes rendus de l'Académie des Sciences. Séance du iS octobre 1862, p. 53G.

remarquables applications pratiques. Les mêmes relations, déve-

• loppées par l'introduction de la règle des signes, lui ont permis de considérer, à un point de vue très-général, l'infinie variété des fi gures qui résultent de la solution d'un môme problème. Ces recherches nouvelles, notamment celles qui se rapportent aux relations projectives des deux polygones, sont autant de conquêtes realisées par la Statique graphique au proli l de la Statique géométrique.

D'après une opinion mise en crédit par le professeur Fleeming Jenkin (*), la Statique graphique aurait son origine dans un procédé linéaire indiqué par Taylor, dessinateur chez le constructeur anglais J.-B. Cochrane. On a vu, par le précédent exposé, combien nous sommes loin de partager cet avis. Nous ne pouvons pas non plus • reconnaître les bases essentielles de la nouvelle doctrine dans

les travaux de Rankine(2) ou dans les recherches dc'Clerk Maxwell sur les ligures réciproques (3). Ces auteurs, il est vrai, ont confirmé et généralisé le procédé de Taylor; mais c'est à M. CreA mona qu'on doit véritablement la théorie des figures réciproques dans la Statique graphique (4 ), théorie dont M. Maurice Lévy a su faire un si remarquable usage dans son excellent Traité (5).

Nous ferons d'ailleurs observer que ces questions de priorité portent sur une partie restreinte des nouvelles méthodes. Le champ des applications de la Statique graphique est infiniment plus vaste ; et, pour saisir toute l'originalité du concept de Culmann, il suffit

(') On the practical application of reciprocai figures tp the calculation of Stratus i(ii frainework (Transactions of the lì. Society of Edinburgh, vol. XXV).

(■) A Manual of applied Mechanics, by William-Johs Macquorn Ranking. Eighth édition. London, 1879. Nos 1 15-124.

l^fÇOn reciprocai figures and diagrains of forces, by J. Clejtck Maxwell ( Philosojt'iical Magazine, aprii i§£/|). — On the calculation of the cquilibrium and stij/ness uf frames (Philosophical Magazine, aprii |S()'|). — On reciprocai figures, frames and diagrains of forces ( Transactions of the R. Society of Edinburgh, vol. XXVI).

('•) L. CREMONA, Le figure reciproche nella Statica grafica. Milano, 1° giugno MDCCCLXXII.

('') La Statique graphique et ses applications aux constructions, par M. LéVY. Paris, iS-'i. Cet Ouvrage est le seul Traité complet de Statique graphique qui ait été publie eu France jusqu'à ce jour. Mais dei parties de la nouvelle méthode ont été incidemment exposées et appliquées dans d'autres écrits, notamment dans le Cours de Mécanique appliquée aux constructions (Résistance des matériaux), par M. Ed. Colli .non. Taris, 1*77, p. 271-273, G35-G.J2, etc.

de, considérer que le professeur de Zurich a développé sa doctrine sons se fonder sur la, considération des figures réciprgaues, et qu'il a même étendu ses constructions aux cas où les diagrammes réciproques ne soni pas possibles.

Cremona et Mohr doivent être comptés, après Culmann, parmi les géomètres qui ont le plus contribué au développement de la Statique graphique. Le premier ne s'est pas borné aux Œuvres écrites que nous venons de citer; on lui doit aussi l'introduction des nouvelles méthodes en Italie. Le second s'est fait connaître par «ie nombreuses recherches; son plus beau titre est d'avoir assimilé la ligne élastique à un pokgone iuniculaire. Mohr est ainsi parvenu à une relation qui lui a permis de résoudre graphiquement les problèmes relatifs aux poutres droites ou courjies et d'apporter de grandes simplifications aux méthodes ordinaires de calcul.

Il nous reste à parler du but que nous nous sommes proposé en publiant ces Leçons et des movens que nous avons choisis pour l'atteindre.

Nous voulons, avant tout, exprimer notre opinion bien arrêtée sur la nécessité de donner une très-large base géométrique à renseignement de la Statique graphique. Certains auteurs, tout en reconnaissant cette nécessité, inclinent à penser que la préparation théorique pourrait être limitée aux propositions indispensables pour exposer directement la méthode suivant le concept de Culmann. Loin de recommander ce système, nous partageons sans réserve l'aversion de Chasles à l'égard des « lambeaux de théories qui ont pour objet suprême et immédiat des applications pratiques », et nous pensons, a^ec l'éminent géomètre, que celle fâcheuse tendance est « essentiellement contraire à l'esprit et au but des Mathématiques » ('). Séparer la Statique graphique de ses origines rationnelles les plus élevées, ce serait fermer toute voie de progrès à celte nouvelle branche des sciences appliquées et méconnaître les principes essentiels de. l'enseignement supérieur.

(') Rapport sur les progrès de la Geometrie, par M. Cuasles, p. 3;g. Paris, 18,0.