I. — Relations métriques entre les angles et les segments

50. Il existe une proportion importante entre les angles et les segments qui sont limités par des éléments correspondants de formes fondamentales projectives.

Considérons un faisceau S de rayons et une ponctuelle u {fîg. i f et i5) perspective à ce faisceau. Quatre rayons quelconques, a, b, r, d de S coupent u aux points correspondants A, B, C, D. Les triangles compris entre la ponctuelle et les rayons, et dont le sommet commun est en S, ont même hauteur; leurs aires sont donc entre elles dans les mêmes rapports que les bases situées sur u, et Ton a

AASB AB ACSB CB

AASD — ÂT> ACSD "~ " CD*

lis l'aire d'un triangle est égale au demi-produit de deux côtés par le iiiuus de l'angle qu'ils comprennent; on a donc

A\SB = \ AS. SB sin ab, ACSB = ^ CS.SBsincó,

A ASD = -, AS . SD sin ad, A CSD = i CS . SD sin ed,

substituant ces valeurs dans les proportions précédentes, il vient

SB sin ab AB SBsinc6 CB

et, divisant,

. /\ Al)' . /\ CD

SD sin ad SD sin ed

sin.7/> sin cb AB CB

. /sj . /\ AD ' CD

sin ad surra

Chacun des termes de celte proportion, pris isolément, constitue un rap-

CR port; par exemple, ^— est le rapport des deux segments résultant de la

^ sin cb .

division du segment BD par le point C, et est le rapport des sinus

sin ed

des deux angles résultant de la division de l'angle bd nar JejlâXâfl-C- Lçs deux membres de l'équation (i) représentent donc le rapport de deux rap-ï ports, ou un double rapport, ou encore, suivant la dénomination générale menj£/' adoptée, un rapport aiiliarmonique (1). Il est facile de reconnaître le mode de formation des rapports anharmoniques considérés. Par exemple, celui

A* ) Bien qu'un auteur {Die Elément e der Mathematik, von Dr Richard Baltzer, II Band. fritte Auflage. Leipzig, 1870, p. 365) ait écrit que les rapports anharmoniques ont fe^étudiés pour lapremière ibis par Moines {Der barycentrische 6'a/c'»7^~èïcTXeipzi«^* 1827, p. 2/|4 et suiv.), on est fondé à affirmer que les trf^-q.s, et? mp,mp"*fnt " F'ttjp^T Chasles, en effet, en étudiant les lemmes de Pappus^( Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en Géométrie, etc. Bruxelles, 1837, p. 34, 3o3. — Traité de Géométrie supérieure. Paris, i85a, p. xxi. — Les trois livres des porismes d'Euclide rétablis pour la première fois, d'après la notice et les lemmes de Pappus, et conformément au sentiment de R. Simpson sur la forme des énoncés de ces propositions. Paris, 1860, p. 11, i'|, 82, 85. — Rapport sur les progrès de la Géométrie Paris, mdccclxx, p. 2.'|0), a signale uno proposition qui avait échappé aux investiga tions antérieures et qui contient la propriété projective du rapport anhnrmoniqne quatre points. Cette propriété est démontrée en six lemmes différents II!,"" XVI et XIX), et Pappus en a fait usaje pour la démonstration de plusieurs autres (lemmes. Ces circonstances ont autorisé Chasles h penser que les propositions d'EucLiDit étaient de celles auxquelles conduisent naturellement les développements et les applications de la notion du rapport anharmonique.fPaimi ces dévèloppements'se^î'ésente en première ligne la théorie des divisions liomographiques (ponctuelles projectives) formées sur deux droites ou sur une seule.

Voir à ce propos une Note très-intéressante de Cantor : Ueber die I'orismen des Euclid und deren Divinatore/!, dans la Zeitschrift fur Mathematik und Phjsik, t. II, p. 17-27. Du reste, avant Môaïus, Desargues {OEuvres réunies et publiées par M. Poudra. Paris, i86'|, t. I, p. 42r>) et Brianchon {3Iémoire sur les lignes du second ordre. Paris, 1817, p. 7) ont démontré la proj^osition fondamentale de cette théorie. La dénomination de rapport anharmonique, introduite par Chasles {op. cit.), d'après la signification du vocahle àv«, est en réalité assez impropre, puisque quatre éléV ments deviennent harmoniques pour une valeur particvuicxi;j.le..JLcux- j^^.urtjiuharr; nique; nous la conserverons cependant, parce qu'on peut la considérer comme généralement acceptée désormais par les géomètres modernes. Moims {op. cit.) avait appliqué à la même relation le nom de Doppelschnittsverhàltniss, auquel il suhstitua plus tard l'ahréviation Doppelvcrhàhniss Théorie der [Krcisvervvandtschaft {Abhandlungen d. k. s. Gesellschaft der JVissenschaften, t. IV, p. 5/|6)]. Voir les Derichte de la Section physico-mathématique de la môme Société, 1 853, p. i5. Steiner adopta cette seconde dénomination {Systematische Entwickclung, etc. Berlin, i832, p. 7), que l'on trouve encore dans les écrits de plusieurs géomètres allemands modernes.