RELATIONS MÉTRIQUES ENTRE LES ANGLES ET LES SEGMENTS

île droite, qui existe entre les segments limites par les points A,B, C,D, s'obtient en divisant l'un par l'autre les rapports suivant lesquels le segment BD, limité par deux de ces points, est divisé par chacun des deux autres. L'autre rapport anharmonique, existant entre les sinus, s'obtiendrait d'une manière analogue. On voit encore, d'après la marche suivie pour la déduction de notre équation, qu'il est indifférent de prendre certains segments et certains angles plutôt que certains autres, puisque les rapports anharmoniques sont toujours formés de la même manière. Un autre choix des quatre triangles aurait, en effet, conduit à l'équation suivante :

s'mad sin bd AD BD

. S\ . / * AC BC sin ac sin Pc

Il serait facile de déduire d'autres équations semblables, pour les mêmes points et pour les mêmes rayons (M.

51. Il convient d'observer que l'équation i subsiste quand on transporte la ponctuelle u dans une autre position oblique quelconque, par rapport au faisceau de rayons. Toute autre droite uu coupant en At, B,, Cj, Di, respectivement, les rayons a, b, c, d, fournit des segments qui donnent lieu à une équation analogue à i

. . sine//; sine/; A, B, C, H,

. /\ . y ■ AtD, C,D,

snu/c/ Silice/

) Quatre points ABCD en ligne droite déterminent vingt- ;uutie rapports anliacc «toniques, parmi lesquels, toutefois, six seulement diffèrent les uns des autres. Si " — T [pen représente un, par exemple (ABCD). par y., on a :

( ABCD = BADC = ( CDAB ; = ( DCBA ) = et,

acdb; =(.cabd)-(dbac)-.(bdca)^ '— , ^adbc = (dacb) = (bcad) = 'cbda — "—?-,

ABDC = [BACD) = 'DCAB) = (CDBA) = -,

ACBD, = ;CADB)=;BDAC) = (DBCA)= i — a, (ADCB) = (DABC) — (CBAD) = (BCDA) = ~— ■

11 suit de là que, si l'un des six rapports anharmoniques est donné, les cinq autres i

sont déterminés. Cremona nomme les trois premiers rapports fondamentaux et les trois

autres réciproques. Pour la déduction du système équdiarmonique, voir Cremona, Introduzione aduna teoria geometrica delle curve piane. Bologna, 1862, n0s 2G, 27.

Pareillement, les points A, B, C, D sont projetés de tout point St, différent de S, par quatre rayons au bu cu du tels qu'on ait

sin <?,/;, sine,/;, AB CB

. /> ' . s 7 ™ AD " CD ' smaidi smcid1

Un rapport anharmonique de la forme précédente ,- entre quatre éléments d'une ponctuelle ou d'un faisceau, ne subit aucune altération dans sa va- ( leur quand ces cléments sont remplacés par les éléments correspondants d'une ponctuelle perspective ou d'un faisceau perspectif.