II. — Propriété du rapport anharmonique

52. Nous pouvons considérer deux formes fondamentales simples, projectives , comme premier et dernier terme (47) d'une série de formes, telles que chacune est perspective à la suivante; il s'ensuit que :

Si deux foi mes fondamentales sont projectiles, le rapport anharmonique entre quatte éléments quelconques de l'une est égal au rapport anharmonique entre les quatre éléments correspondants de l'autre.

Réciproquement :

Pour que deux formes fondamentales simples soient projectives, il faut et il suffit que quatre éléments de la prendere, pris à r>olonlé, et les quatre éléments correspondants de la seconde, aient le même rapport anharmonique.

Soient en effet u et ?/j deux ponctuelles projectives, et soient A, B, C, D les points de u qui correspondent respectivement aux points Al5 Bt, Cj, Dt de Kj. On a, entre les segments limités par ces points, la proportion

AB CB A^B, CjBj '^ A D ' C D ~~ A,Dt ' cTDi '

Cette proposition est évidemment vraie pour les faisceaux de plans. Les angles formés par les éléments de ces faisceaux ont, en effet, leurs mesures dans un faisceau de rayons, situé dans un plan perpendiculaire à l'axe du faisceau de plans, perspectif à ce dernier faisceau et par suite projectif à toute forme fondamentale qui est elle-même projective au faisceau de plans.

En revenant sur ce qui a été précédemment exposé au sujet des relations métriques dans les systèmes harmoniques (37), on reconnaît facilement

PROPRIÉTÉ DL" RAPPORT VNII VRMONIQIE. 55

que le rapport harmonique n'est qu'un cas particulier de l'anharmonique : Le rapport aiiharmonique de (piati e elemento hai moiiupics est égal à V unité negative. """

53. C'est ici le cas d'établir les relation:}, métriques entre Ics angles d'un faisceau harmonique de rayons ou de plans. Soient «, b, c, d Jîg. io) les éléments du faisceau et A, B, C, D les quatre points suivant lesquels ces éléments sont coupés par une droite quelconque. On a (37)

AB AD

CB ~ CD

L'équation ( i ) du n° 50 donne dès lors la relation cherchée

sin ab s'mad

sin cb sin ed

6k. Certains couples de points correspondants de deux ponctuelles projectives jouissent de propriétés particulières qui méritent un examen spécial. Telles sont, notamment, les propriétés qui se rapportent au point à l'infini d'une droite, et qui ne subissent d'ailleurs aucune altération lorsque la droite change de position.

Considérons les deux ponctuelles a, ut {fig. ig) et soient respectivement

C, A, leurs points à l'infini. Imaginons que les deux ponctuelles soient placées en position perspective, et soit S leur centre de projection. Les parallèles menées par le point S aux lieux des ponctuelles rencontrent u et uii respectivement aux points A etCt, qui sont les correspondants des points à l'infini C et At. Ceux-ci ne changeront pas si l'on supprime la position perspective; par suite, les points Ct et A resteront aussi invariables. ,

Prenons deux autres couples de points correspondants, B,BX etD,Dj.

Nous avons (52)

BA BC B,A, B,C, DA ' DC — DlAl ' I)7c, '

mais nous pouvons écrire