On a enfin pour le triangle

Dans tout triangle inscrit à une courbe du second ordre, les points d'intersection des cotés avec les tangentes aux sommets respectivement opposés sont en ligne droite.

Bans tout triangle formé de rayons d'un faisceau du second ordre, les droites qui joignent les sommets aux points de contact des côtés respectivement opposés concourent en un même point.

82. Les propositions précédentes (79, 80, 81), qu'on peut considérer comme des corollaires des théorèmes de Pascal el de Brianchon, servent à résoudre les problèmes suivants :

Étant donnés, dans un plan, cinq points d'une courbe du second ordre, ou (piatte points et la tangente en l'un de ces points, ou trois points et les tangentes en deux de ces points, construire la courbe.

Étant donnés, dans un plan, cinq rayons d'un faisceau du second ordre, ou quatre rayons et le point de contact sur l'un d'eux, ou trois rayons et les points de contact sur deux d'entre eux, construite le faisceau.

III. — Application des théorèmes à la détermination des éléments correspondants dans les formes projectives simples.

83. On peut encore démontrer les théorèmes des nos79, 80 et 81 directement, sans recourir à l'hexagone.

Nous donnerons, à titre d'exemple, la démonstration directe pour le quadrangle.

Deux faisceaux projectifs de rayons S et S, (jîg. a3) étant donnés, nous avons facilement déterminé le rayon du second, qui correspond à tout rayon du premier, en construisant un troisième faisceau de rayons S2. perspectif à chacun des deux autres.

Nous rappelons qu'à cet effet (66) les faisceaux S et Sj ont été respectivement coupés suivant les ponctuelles u et uu au moyen de deux droites qu'on a fait passer par le point d'intersection A de deux ravons correspondants a et «.. Ces ponctuelles étant perspectives, le faisceau S.2, dont elles étaient des sections, représentait le faisceau cherché.

Fie. aS.

Ces conclusions subsistent encore si u (fig- 28) coïncide avec at et ut avec a, de telle sorte que les couples de points bal et bla (B et Bi), cat et cxa (G et Ct), etc., où deux rayons correspondants a et <i\ sont mutuellement coupés par deux autres quelconques by

et b ou Cj et c, se trouvent en ligne droite avec un point fixe S2. Si nous faisons alors passer par S2 une droite quelconque DD1? qui coupe les rayons at et a respectivement en D et Dt, SD et SjDt seront des rayons correspondants des faisceaux S et Sj. Faisons maintenant coïncider D4 avec S ; SD devient le rayon SS2 ou q de S, auquel correspond, dans Sj, le rayon StS ou qx qui joint les centres des faisceaux S et S!. La droite SS, est donc une tangente à la courbe du second ordre engendrée par S et S!» Il en est de même de SiS2 ou pt. Il suit de là que le point fixe S2 est le point d'intersection des deux tangentes q et px en S et St, c'est-à-dire des deux rayons qui correspondent, dans chacun des deux faisceaux S et Sj, au ravon commun SSj. On parviendra donc toujours au même point S2, soit ' que l'on fasse coïncider les droites ut et u respectivement avec les rayons a et au soit qu'on mette ces droites en coïncidence avec tout autre couple (b et bx ou c et c\) de rayons correspondants; par conséquent, toute droite joignant deux points {bcì et b1c) où se coupent mutuellement deux couples quelconques (Z>Z>, et cct) de rayons correspondants passe par le point S2.

Deux: ponctuelles projectives uelu{ (fig- 24) étant données, nous avons facilement déterminé, pour chaque point de l'une, le point correspondant de l'autre (66) en construisant une troisième ponctuelle 11%, perspective à chacune des deux premières.

Nous avons projeté respectivement u et a,, au moyen des faisceaux S et S,, dont les centres étaient pris sur la droite a de jonction de deux points correspondants quelconques, A et Aj, des ponctuelles données. Ces faisceaux étant projectifs, la ponctuelle «2, dont ils étaient des projections, résolvait le problème.

Faisons maintenant coïncider S avec Aj [Jig- 29) et S,

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