APPLICATION DES THÉORÈMES A LA DÉTERMINATION DES ÉLÉMENTS, ETC

avec A; u2 vient passer par les points de u et de u, qui correspondent au point d'intersection uul. Deux points correspondants quelconques, D et Dj, sont projetés, de Aj et de A, par deux rayons, \|D et ADj, qui se coupenl surla droite u>. Faisons ensuite coïncider D avec uut ou Qn de telle sorte que u2 \ ienne passer par l'un (et par conséquent aussi par l'autre) des deux points Pj el Q, qui correspondent au point d'intersection PQt de il et de «j. Il est évident que le point d'intersection D2 des rayons AjD el \\\ coïncidera alors avec le point ;/, i/2 ou Pj. En d'autres ternies, */2 est la droite de jonction des points de contact, sur u et ui:

du faisceau de rayons du second ordre engendré par ces deux ponctuelles. On parviendra donc toujours à la même droite u2, soit que l'on fasse coïncider les centres Sj et S respectivement avec les points A et A1} soit que l'on mette ces points en coïncidence avec tout autre couple (B et Bt ou C el Cj) de points correspondants; par conséquent, tout [joint d'intersection de deux rayons (BCj etBjC), au moyen desquels deux couples quelconques (B,Bj et C,Cj) de points correspondants sont mutuellement projetés, est situé sur la droite u2.

Les résultats que nous venons d'obtenir peuvent être formulés en deux propositions de la manière suivante :

Les deux points abv et ay b, où se coupent mutuellement deux couples quelconques, a, al et b, blt de rayons correspondants des faisceaux projectifs S et Sj, et le point S2, où se coupent les deux rayons qui correspondent au rayon commun SSj des deux faisceaux, sont trois points situés sur une même droite.

Les deux droites AB] et A4B par

lesquelles sont mutuellement projetés deur couples quelconques, A,Aj et B,Bj, de points correspondants des ponctuelles projectiles u et uv et la droite u7, qui joint les deux points correspondant au point commun uuy c/d'v deux ponctuelles , sont trois droites qui se coupent au même point.

Il est aise de voir que :

Dans la courbe du second ordre engendrée par les faisceaux S et Sj, les points S, aau Sj et ùbl forment un quadrangle inscrit dont a et bu al et b sont les côtés opposés, S2 étant le point de concours des deux tangentes qui touchent la courbe aux sommets opposés S et Si .

Dans le faisceau de rayons du second ordre engendré par les ponctuelles ii et «j, les rayons u, AAM «! et BLj! forment un quadrilatère circonscrit dont A et B,, At et B sont les sommets opposés, «2 étant la droite qui joint les points de contact du faisceau de second ordre situés sur les côtés opposés u et ux.

81. Les précédentes propositions se prêtent à la détermination facile de l'élément qui, dans l'une des deux formes fondamentales simples projeclives, correspond à un élément quelconque de l'autre forme. En effet, si l'on donne, par exemple, trois couples de points correspondants dans deux ponctuelles projectives u et u-, (Jig- 29), on peut construire immédiatement la ponctuelle u% qui permet de trouver très-simplement, pour tout point de u, le point correspondant de u{.

IV. — Relations entre la courbe et le faisceau du second ordre.

85. Les propositions précédentes, relatives au quadrangle et au quadrilatère, dans la courbe et dans le faisceau de rayons du second ordre, peuvent être énoncées plus généralement dans la forme suivante :

Quatre points K, L, M, N d'une courbe de second ordre formant un quadrangle complet, et les tangentes /;, /, m, n en ces points formant un quadrilatère comjjlet, les sommets opposés du quadrilatère sont situés deux à deuv sur les trois droites qui joignent deux et deux les trois points X, Y, Z où se coupent entre eux les cotés opposés du quadrangle.

Quatre rayons h, 1, m, n d'un faisceau du second ordre formant un quadrilatère complet, et les points de contact K, L, M, N de ces rayons formant un quadrangle complet, les cénés opposés du quadrangle passent deu.r a deux par les points X, Y, Z où se coupent deu.r à deux les trois droites qui joigne/it entre eux les sommets oj>posés du quadrilatère.

Nous sommes autorises à généraliser ainsi les propositions établies plus haut (83), parce que ces propositions s'appliquenl