RELATIONS ENTRE LA COURBE ET LE FAISCEAU UL SECOND ORDRE

respectivement à chacun des trois quadrangles ou quadrilatères contenus dans le quadrangle ou dans le quadrilatere complet.

8G. Les deux propositions précédentes expriment que le triangle dont les côtés joignent deux à deux les sommets opposés du quadrilatère est identique au triangle sur les sommets duquel se coupent deux à deux les côtés opposés du quadrangle. Si I'od se donnait un quadrangle KLMN inscrit, dans cette condii ion à un quadrilatère hlmn, on serait en état de construire, tout ensemble, une courbe du second ordre qui toucherait les droites k, l, ni, u aux points K, L, M, N, et un faisceau de rayons du second ordre dans lequel K, L, M, N seraient les points de contact sur les rayons/», /, m, n. En effet, d'après notre proposition, la courbe du second ordre qui passe aux points K, L, M, N et qui louche en K la droite A a aussi pour tangentes les droites /, ;//, «; et le faisceau du second ordre qui contient les rayons k, /, ///, n et qui a sur A le point de contact K a aussi pour points de coniaci les points L, M, N. Donc :

Quatre tangentes à une courbe du second ordre, avec leurs quatre points de contact , peuvent toujours être considérées comme quatre rayons d' un faisceau du second ordre, avec leurs quatre points de contact.

87. Une courbe du second ordre qui passe par trois points de contact K, L, M d'un faisceau du second ordre et cpii a pour tangentes en deux de ces points, K et L, les rayons correspondants À" et /, passe par conséquent par tout quatrième point N de contact du faisceau et a pour tangente le rayon n correspondant à ce point.

Réciproquement, un faisceau du second ordre contient toutes les tangentes à une courbe du second ordre, pourvu qu'il en contienne trois et que les points de contact de deux d'entre elles soient situés sur la courbe.

On a donc les relations suivantes entre les courbes et les faisceaux du second ordre :

Toutes les tangentes à une courbe du second ordre forment un faisceau de rayons du second ordre.

Tous les points de contact d'un faisceau de rayons du second ordre forment une courbe du second ordre.

88. Cette double proposition peut encore être démontrée de la manière suivante :

Des quatre sommets K, L, M, N ( ftg. 3o) du quadrangle inscrit dans la courbe du second ordre nous supposons que l'un, K, se meut sur la courbe, pendant que les trois autres, et les tangentes /, m, n qui leur correspondent, restent fixes dans leurs positions. La tangente A" du point K obéit au mouvement de ce point sur la courbe ; les points d'intersection E, A de À" avec les tangentes n et / se meuvent aussi et décrivent respectivement sur ces tangentes deux ponctuelles projectives , pendant que la tangente À" décrit un faisceau de rayons du second ordre. Les deux diagonales EB et AD du quadrilatère klmn se coupent, en effet, constamment en un point variable \ de la droite fixe LN ; elles décrivent donc deux faisceaux perspectifs de rayons autour des sommets fixes B,D, et les ponctuelles n, l, décrites par les points E et A, sont des sections de ces faisceaux.

On démontrerait la seconde proposition de la même manière. La droite MK passe aussi par le point Y; elle décrit donc auto indu point M, pendant le mouvement du point K sur la courbe, un faisceau de rayons qui est perspectif au faisceau décrit par BE et par conséquent projectif à la ponctuelle n décrite par E. Donc :

Etant donnés, dans une courbe du second ordre, un point fixe quelconque M et une tangente fixe aussi quelconque n, si l'on assigne comme correspondant à tout rayon de M, qui projette un point quelconque K de la courbe, le point de n par lequel passe la tangente k du point K, le faisceau M et la ponctuelle n soni projecti/s.

Cette dernière proposition est réciproque à elle-même dans le plan, car, ainsi qu'on l'a vu (87), les tangentes à une courbe du second ordre forment toujours un faisceau du second ordre.